4°. Линейные неоднородные уравнения - го порядка с постоянными коэффициентами и правой частью.

, ,.

,

, где ,.

,

Теорема:

Если - корень кратностихарактеристического многочлена, то частное решение уравнения можно искать в виде , где,.

Доказательство:

Билет № 19

5°. Лос с постоянными коэффициентами.

, ,

- собственный вектор с собственным числом.

- корни характеристического многочлена.

- собственные вектора.

Опред.: Если собственные числа различны, то соответствующие им собственные вектора линейно-независимы.

Опред.: Линейный оператор (матрица) называется диагонализируемым, если она имеетлинейно-независимых собственных векторов.

Опред.: Если - линейно независимы, то- ФСР.

Билет № 20

5°. Лос с постоянными коэффициентами.

Опред.: Если матрица не диагонализируемая, то ее характеристическое уравнение имеет кратные корни.

Лемма:

Пусть - фундаментальная матрица ЛОС, где- матрица, а- невырожденная матрица. Тогда.

ЛОС , где

Доказательство:

Следствие 1:

Вывод: собственные числа увеличатся на .

Следствие 2:

- постоянная матрица.

Вывод: собственные числа не изменятся.

Теорема (о структуре общего решения):

Фундаментальную систему решений линейной однородной системы можно составить изподмножеств, соответствующих попарно различным корнямхарактеристического многочлена, причем корнюкратностисоответствуетлинейно независ. решений вида, где- многочлены степени не превосходящей.

Доказательство:

Доказательство проводим индукцией по при фиксированном.

База индукции при все корни (собственные числа) различнытеорема справедлива.

Шаг индукции. Предположим, что теорема справедлива для числа . Докажем ее для.

Без ограничения общности можно считать, что ,, а теорема уже доказана для случая, когда- корень кратности,-корень кратности,-корень кратности.

Можно считать, что , иначе делаем заменуна.

Пусть - собственный вектор, соответствующий. Значит,. Можно считать, что.

Сделаем замену переменных: ,,

.

,

Из уравнения следует:

учитывая, что , получаем:.

ФСР :

- многочлены, степени - многочлены, степени - многочлены, степени

ФСР

В данной матрице . - многочлены, степени - степень

, (где- фундаментальная матрица исходной системы).

В результате такого произведения получим матрицу, аналогичную матрице .

Билет № 21

1°. Теорема о непрерывной зависимости решений от реальных условий.

Опред.: Решение называется непрерывно зависящим от начальных условий на интервале:

Теорема:

Если непрерывна на,на, тоур-я,непрерывно зависит от начальных условий на интервале, где,.

Доказательство:

2°. Устойчивость по Ляпунову. Асимптотическая устойчивость.

, на.

Опред.: Решение нормальной системы называетсяустойчивым по Ляпунову, если той же системы, удовлетворяющее неравенству,, выполняется неравенство,.

Опред.: Решение асимптотически устойчиво, если оно устойчиво по Ляпунову и

, . .

Решение нормальной системы устойчиво тогда и только тогда, когда устойчиво нулевое решение преобразованной системы

Билет №22

3°. Теорема Ляпунова.

Теорема:

Пусть нормальная система имеет решение. Пусть существует дифференцируемая функция, удовлетворяющая условиям:

1). ,.

2). если - решение, топри, тогда точка покояустойчива по Ляпунову.

Если к тому же при,, то точка покояасимптотически устойчива.

Опред.: Функция называется функцией Ляпунова.

Следствие:

Если действительные части всех собственных чисел матрицы отрицательны, то любое решениеассимптотически устойчиво.

Доказательство:

, - собственные числа матрицы.

Если ,.

.

Билет № 23

4°. Классификация точек покоя линейных систем 2-го порядка с постоянными коэффициентами.

, где .

1. ,	Устойчивый узел.
2. ,
3. .	«седло»

4.

Утверждение:

- действ. вектор функц. тогда и только тогда, когда .

, - линейно не зависимы.

- невырожденная матрица.

Оператор хорошо преобразует вектора.

.

семейство окружностей, преобразованных оператором

семейство эллипсов «центр».

5. ,

, . устойчивый фокус.

6. ,

, . неустойчивый фокус.

7. Общее решение:	8.
9. Общее решение:	10.
11. Общее решение:	12.
13. Общее решение:	14.