- •1.Погрешн-ть.Абсолютн и относительн.Устойчивость,корректн-ть,сходим-ть.
- •4.Решение нелинейных систем.Методы простой итерации и Ньютона.
- •5.Аппроксимация функций.Линейная и квадратичная интерполяция.
- •17.Основная лемма вариационного исчисления.
- •19.Частные случаи интегрируемости ур-я Эйлера
- •16.Экстремум ф-ала.Необходимое условие экстремума.
- •14.Непрерывность,приращение,линейность функционала.
- •11.Методы Эйлера и Рунге-Кутта для решения диффур.
- •10.Интегрирование диффура с помощью рядов и послед.Приближения
- •6.Многочлен Лагранжа и Ньютона
- •18.Простейшая задача вар.Исчисления,вывод уравнения Эйлера
- •7.Эмпирические формулы.Метод выбр.Точек,средних,наименьш.Квадратов. Необх условие сущ-я эмп.Формулы.
- •8.Численное дифф-ние ф-ции одной и нескольких переменных.
- •15.Вариация ф-ала как главная линейная часть приращения и как производная по параметру.
- •12.Краевые задачи для обыкновенных диффур,линейная краевая задача,методы конечных разностей,коллокации,Галеркина.
- •13.Понятие функционала и вариации его аргумента.Примеры.Расстояние между ф-циями и определение окрестности
- •2.Решение линейных систем, норма матрицы, вектора, понятие обусловленности. Прямые и итерационные методы решения.
- •2.Решение нелинейных.Метод деления отрезка пополам,хорд,касательных,простой итерации
6.Многочлен Лагранжа и Ньютона
Лагранжа:будем искать мног-н в виде линейной комбинац.многочл-ов степени n
L(x)=y0l0(x)+y1l1(x)+…+ynln(x) При этом потреб.чтоб кажд многоч-н li(x) обращ-ся в 0 во всех узлах интерп-и за исключ. 1го-iго,где он долж.равн-ся 1це.Легко убед-ся что этим усл-ям отвечает многоч-н вида:
если x=x0: l0(x0)=1; l0(x1)=0 ; l0(x2)=0 ... l0(xn)=0
пусть x=x1: l0(x1)=1;…0..0
это есть инт.мног.Лагранжа
Ньютона:рассмотр.случ.равноотстоящ.значений аргумента xi-xi-1=h.h-шаг.Пусть извест.знач-я ф-ции в узлах xi yi=f(xi) т.е.ф-ция задана таблично.Сост.разности знач-й: ∆y0=y1-y0=f(x0+h)-f(x0); ∆y1=y2-y1=f(x0+2h)-f(x0+h);…
∆yn-1=yn-yn-1=f(x0+nh)-f(x0+(n-1)h) Эти выр-я назыв-ся первыми разн-ми или раз-ми 1го пор-ка ф-ции,задан.таблично.Аналог-но можно состав.разн-ти 2е разн-ти
∆2y0=∆y1-∆y0…………..∆2yn-2=∆yn-1-∆yn-2. Конечн.разн-ти можн выраз.непоср.через знач-я ф-ции yi например ∆2y0=( y2-y1)-( y1-y0)=y2-2y1+y0
∆3y0=∆2y1-∆2y0=(∆y2-∆y1)-( ∆y1-∆y0)=[(y3-y2)-(y2-y1)]-[(y2-y1)-(y1-y0)]=y3-3y2+3y1-y0
Интерполяц.многочлен Ньютона можно записать в виде:
Получ.выр. назыв-ся 1ым интерпол-ым многочленом Ньютона для интерп.вперед. Ее исп-ют для вычисл-я знач-й ф-ции в точках лев.половины рассматр.отрезка.Для прав. разн. лучше вычислять справа налево t=(x-xn)/h т.е. t<0 и многочлен выглядит так:
Это второй интерпол многочлен Ньютон для интерполяции назад.
Одной из модиф.многочл.Лагранжа явл-ся многочлен Эрмита,кот.требует чтоб в узлах xi совпад.с табличн.знач-ми не только его знач-я yi но и их произв-е до нек. порядка.
18.Простейшая задача вар.Исчисления,вывод уравнения Эйлера
Пусть ф-ция F(x;y;y') имеет непрерывн.частн.произв.по всем св.аргументам до 2го пор-ка включ-но среди всех ф-ций y(x)ϵС1[a;b],удовл-их граничн.условиям. y(a)=A и y(b)=B
Найти ту ф-цию,кот.доставляет экстремум фун-алу
!Простей.задача вар.исчис-я состоит в отыскании экстремума ф-ала на множестве всех гладк.кривых,соединяющ.заданные точки p1(a;A) и p2(b;B)
Т: Если ф-ал,опред-ый на множестве ф-ций y(x)ϵС1[a;b],удовл-их усл-ям,достигает на кривой y0(x) экстремума,то ф-ция y0(x) будет решением ур-я Эйлера
Интегральные кривые ур-я Эйлера y=y(x;C1;C2) назыв-ся экстремалями.
Итак,для нахождения кривой y=y(x),реализующей экстремум ф-ала,решаем ур-е Эйлера и опред-ем константы C1 и C2,входящ.в общ.решение из краевых усл-й.
!Только на удовл-их этим усло-ям экстремалях может реализ-ся экстремум ф-ала, но для того,чтоб установить,реализ-ся ли на них в действит.экстремум и при том макс или мин,надо иметь достаточные условия экстремума.
!Краев.задача и условия y(a)=A и y(b)=B не всегда имеет решение,а если решение сущ-ет,то мож.б не единственным.
!Во многих вар.задачах сущ-е реш-я очевидн из физич.или геом.смысла задачи и если реш-е ур-я Эйлера,удовл-ее граничн.условиям,единственно,то эта единств. экстремаль и будет решением рассматр.задачи.