10,2Формирование понятий «меньше в…», «больше в…».

Методика работы над задачами на увеличение числа в несколько раз,

выраженными в прямой и косвенной форме.

Решение задач на увеличение числа в несколько раз, выраженных в прямой и косвенной форме, опирается на хорошее понимание конкретного смысла действия умножения и смысла выражения «больше в…». Следовательно, подготовительная работа и должна быть направлена на изучение этих вопросов. Для раскрытия смысла выражения «больше в…» целесообразно выполнить ряд упражнений, подобных следующим:

Положите слева 4 кружка, а справа 2 раза по 4 кружка. В таком случае говорят, что справа кружков в 2 раза больше, чем слева, потому, что там 2 раза по столько же; а слева в 2 раза меньше кружков, чем справа

Положите слева 2 квадрата, а справа 3 раза по 2 квадрата. Что можно сказать о числе квадратов справа: их больше или меньше, чем слева? (Их в 3 раза больше, чем слева, а слева в 3 раза меньше, чем справа.)

После выполнения нескольких таких упражнений можно ввести решение задач (3 класс, ч.1, стр. 52). Таким образом, задачи на увеличение числа в несколько раз рассматриваются на основе вывода о том, что в 2 раза больше - значит 2 раза по столько же, в 3 раза больше – значит 3 раза по столько же.

Задачи на уменьшение числа в несколько раз, выраженные в прямой форме (3 класс, ч. 1, стр. 54), вводятся после того, как дети приобретут умение решать задачи на деление на равные части, усвоят двоякий смысл отношения: если первое число больше второго в несколько раз, то второе меньше первого во столько же раз. Ознакомить с решением этих задач можно так: Положите в ряд 6 кружков. В другой ряд нужно положить в 3 раза меньше кружков. Если во втором ряду будет в 3 раза меньше, то что можно сказать о числе кружков в первом ряду? (Их будет в 3 раза больше.) Значит, в первом ряду 3 раза по стольку, сколько должно быть во втором ряду. Как же узнать, сколько кружков должно быть во втором ряду? (Надо 6 разделить на 3, получится 2) Выполните это с помощью кружков (выполняют). Выполнив несколько подобных упражнений, дети совместно с учителем приходят к выводу о том, что для того, чтобы получить в 3 раза меньше, значит разделить на 3.

Решение задач на увеличение и уменьшение числа в несколько раз, выраженных в косвенной форме (4 класс, ч. 1, стр. 74, № 416(2)), основывается на хорошем знании двоякого смысла отношения и умении решать задачи этих видов, выраженные в прямой форме. Дети должны усвоить, что если одно число в несколько раз больше другого, то второе число меньше первого во столько же раз. Очень часто дети путают задачи на увеличение и уменьшение числа в несколько раз с задачами на увеличение уменьшение числа на несколько единиц. В целях предупреждения ошибок в решении таких типов задач, необходимо проводить сравнение задач указанных типов, решая их в перемежении (в первой задаче требовалось увеличить число на несколько единиц, а во второй – в несколько раз; первая задача решается сложением, а вторая – умножением).

Дать характеристику числа 135 073 Прочитайте число 135 073 - сто тридцать пять тысяч семьдесят три

3 ед. 1 разряда или 3 ед.

7 ед. 2 разряда или 7 дес.

5 ед. 4 разряда или 5 тыс.

3 ед. 5 разряда или 3 дес.тыс.

1 ед. 6 разряда или 1сот.тыс.

Количество единиц в классах: 73 ед.-1 класса и 135 ед.- 2 класса

1. Общее число единиц каждого разряда:

1 – 135 073 ед.

2 – 13507 дес.

3 – 1350 сотен

4 – 135 тыс.

5 – 13 дес.тыс.

6 – 1 сотня тысяч

2. Сумма разрядных слагаемых: 135073= 100 000+30 000+5 000+70+3

3. Предшествующее число -135 072

Последующее число – 135 074

4. Наименьшее число – 100 000

Наибольшее число – 999 999

5. Всего цифр – 6, различных 5

6. Наибольшее число, которое можно образовать 753 310

Наименьшее число, которое можно образовать 103 357

№11. Теоретико-множественный смысл суммы целых неотрицательных чисел. Существование и единственность суммы. Законы сложения.

Суммой целых неотрицательных чисел a и b называют число элементов в объединении непересекающихся множеств А и В, таких, что n(A) – a, n(B) - b

Кроме того, сумма всегда существует и она единственна. Существование и единственность суммы вытекают из существования и единственности объединения двух множеств.

Действие, при помощи которого находят сумму, называют сложением, а числа, которые складывают, называют слагаемыми.

В начальном курсе математики сложение двух неотрицательных чисел вводится на основе практических упражнений, связанных с объединением двух множеств предметов.

Известны законы сложения: переместительный и сочетательный.

Методика обучения выделению предметов, сравнению предметов, обучение сравнение групп предметов, формирование представлений о некоторых геометрических фигур в дочисловой период. (стр 53)

В подготовительный период учителю надо выявить запас математических знаний и умений у детей, подготовить их к работе над 1 темой – нумерация чисел в пределах 10. Познакомить с терминами «больше» «меньше»,»столько же», пространственные знания «вправо» «влево» «вверх-вниз» «впереди-позади» «после – перед – между». В самом начале обучения математике учитель должен узнать о ЗУН, возможностях и способностях учащихся. Он в непринужденной беседе просит детей выполнить некоторые задания, например: 1) возьми в левую руку столько карандашей, сколько их лежит на столе(4-7 шт),2) каких кружков больше: красных или синих?

В этом периоде у детей формируется понятие числа, т.е.они должны усвоить разные способы получения чисел: в процессе счета, измерения, арифм.действий. Важно чтобы дети хорошо усвоили счет (счет предметов, отвлеченный счет в прямом и обратном порядке). Главное при счете дети должны усвоить что нельзя пропускать предметы, нельзя считать один и тот же 2 раза. Здесь же дети пользуются порядковыми и количественными числами. Например: «Считай так: раз, два три …» «считай так: первый второй третий..». Дети приходят к тому что последнее число при счете и показывает количество предметов.

В самом начале дети учатся сравнивать численные множества. Задания: «Посмотрите на подоконник. На котором больше(меньше)горшков с цветами?». «Положите 7 треугольников, потом на каждый треугольник положите квадраты. Сколько квадратов вы положили?» «Нарисуйте 5 трег, теперь под каждый нарисуйте круги. Пририсуйте еще один кружок . Каких фигур меньше или меньше?» Сравнение множеств путем соотношения предметов один к одному дает возможность не только устанавливать больше и меньше, но и на сколько больше, на сколько меньше. Нужно именно выделить на сколько меньше/больше. Здесь хорошо использовать задания на преобразование неравночисленных множеств в равночисленные и обратно. Например: «Яблок на 1 меньше чем груш, Груш на 1 больше чем яблок. Что надо сделать, чтобы яблок и груш стало ровно?( убрать одну грушу)»

Дети знакомятся с величинами длина, масса, емкость. Например: «Карандаш длиннее ручки» «сколько стаканов воды влезет в банку?»

Уточняются пространственные представления. Например: «Положите тетрадь слева/справа. Найдите картинку в верхнем левом углу. И т.д.Нарисуйте березу между елью и сосной.» Внимание нужно уделить перед-после-между. Можно вызвать нескольких учащихся к доске построить их, и спрашивать. Кто стоит перед Колей?Кто стоит между Таней и Олей? Ит.д. Для дальнейшего обучения дети пишут бордюры, состоящие из +-=. Знакомство происходит геом.фигурами.

№12. Теоретико-множественный смысл разности целых неотрицательных чисел. Определение разности через сумму.

Разностью целых неотрицательных чисел а и в называется число элементов в дополнении множества В до множества А.

А= «a,b,c,d,e,f,k»

B= «a,c,b,k»

А\В= «d,e,f»

n (A\В)= 3

действие

Разностью целых неотрицательных чисел а и в называется такое число С, сумма которой с числом В равна А.

Свойства:

1. разностью целых неотрицательных чисел а и в существует только тогда, если а в

2. если разность чисел существует, то она единственна.

Предположим, что существуют два значения разности С1 и С2 которые равны.

Чтобы вычесть число из суммы, достаточно вычесть это число из слагаемых и к полученному результату прибавить второе слагаемое.

Чтобы вычесть сумму из числа, необходимо вычесть из этого числа последовательно каждое слагаемое один за другим.

Ознакомление учащихся с действием умножения и переместительным свойством умножения.

Работа над новым материалом.

При ознакомлении с переместительным свойством умножения использовать рисунки учебника.

Рассмотрите первый рисунок. Сколько кружков в первом (в верхнем) ряду? во втором ряду? в третьем ряду? Сколько кружков в трех рядах? Как узнали? 2 • 3 = 6. Прочитайте эту запись по учебнику. Сколько кружков в каждом столбике? Сколько красных? синих кружков? Сколько таких столбиков? Как узнать, сколько всего кружков? 3 • 2 = 6. Прочитайте эту запись по учебнику. Получилось тоже 6, потому что сосчитали одни и те же кружки, но по-разному. Сравните эти примеры. Чем они похожи? Оба на умножение, множители одинаковые и результаты одинаковые. Чем отличаются? Во втором примере множители переставлены. Да, множители переставлены, а результат такой же.

Аналогичную работу провести по второму и третьему рисункам учебника. Ученики каждый раз должны делать вывод, что множители переставили или поменяли местами, а произведение не изменилось, затем прочитать по учебнику общий вывод.

Для первичного закрепления надо выполнить упражнение 1 под руководством учителя:

Прочитайте первый пример I столбика, используя названия чисел при умножении. Первый множитель 4, второй — 5, произведение 20. Так же прочитайте второй пример этого столбика. Первый множитель 5, второй — 4, найти произведение. Сравните примеры и скажите, как можно найти результат второго примера, пользуясь первым. Во втором примере множители такие же, но переставлены, значит, получится то же произведение — 20.

Так же ведется работа со II столбиком примеров. Остальные примеры ученики решают самостоятельно, а при проверке объясняют, как находили результат.

Упражнение 2 читают и иллюстрируют: в клеточках тетради рисуют кружки —3 ряда по 5 кружков. Самостоятельно записывают решение умножением.

Работа над пройденным материалом.

1. Устное решение примеров на умножение двух и трех, на сложение и вычитание.

2. Составление и решение задач по различным заданиям учителя. Например: Составить задачу, для решения которой надо 3 умножить на 7. Для самостоятельной работы предложить упражнения 3, 4 и 5. Учитель может выбрать различные приемы работы с примерами на сложение и вычитание, учитывая подготовленность учеников своего класса. Примеры, предназначенные для письменных вычислений, дети могут решить с подробным объяснением у доски под руководством учителя с комментированием, самостоятельно с последующей проверкой, сопровождающейся подробным объяснением, самостоятельно с последующей взаимопроверкой и т. д. Примеры, предназначенные для устных вычислений, учитель может использовать во фронтальной работе. Помимо устного решения таких примеров, дети могут выполнять запись ответов в форме арифметического диктанта или полностью записывать пример в строчку и находить результат. 3. Для подготовки к введению деления предложить задачу: 14 роз расставили в вазу, по 7 роз в каждую. Сколько потребовалось ваз? Ученики под руководством учителя раскладывают какие-либо предметы или же выполняют рисунок с точками и находят ответ с помощью счета.

В практике работы школы в начальных классах получила рассмотрение следующая система изучения действий умножения и деления:

1. Введение понятия об умножении как сумм одинаковых слагаемых.

2. Составление таблицы умножения числа 2.

3. Понятие деления на равные части.

4. Составление таблицы деления на 2.

5. Составление таблицы умножения в пределах 20.

6. Составление таблицы деления в пределах 20.

7. Деление по содержанию.

8.Сопоставление умножения и деления как взаимообратных действий.

9. Изучение умножения в пределах 100. Составление таблиц умножения и деления. Практическое знакомство с переместительным законом умножения.

10. Деление с остатками

11. Умножение на 1 и единицы. Деление на 1. Ноль как компонент умножения. Ноль как делимое. При обучении умножению и делению перед учителем стоит сложная задача - раскрыть смысл каждого арифметического действия на конкретном материале.

Обучение табличному умножению и делению в пределах 20.

В 2 классе учащиеся получают понятие об умножении и знакомятся с действиями умножения и деления в пределах 20. Лучшему осознанию учащимся смысла действия умножения способствует подготовительная работа: счет равными группами предметов, а также счет по 2, 3, 4, 5, до 20.

После того как учащиеся получают первое представление об умножении, познакомятся со знаком умножения и записью этого действия, можно переходить к изучению таблицы умножения числа 2.

Таблица умножения составляется по постоянному множимому. Этапы знакомства с табличным умножением числа 2:

1. Счет предметов от 2 до 20.

2. Счет изображений предметов по 2 на рисунках или числовых фигурках и составление примеров на сложение.

3. Замена сложения умножением и чтения таблицы умножения.

Обучение табличному умножению в пределах 1000.

В 2 классе повторяется табличное умножение в пределах 20 и заканчивается изучение всего табличного умножения и деления. По-прежнему много внимания уделяется наглядной основе и счета равными группами их числам.

После составления таблицы умножения числа 6 учитель должен обратить внимание на то что ответ каждого последующего примера может быть получен из предыдущего путем прибавления 6 (единиц множимого).Обучение табличному делению в пределах 20.В начальных классах действие деления рассматривается в зависимости от действия умножения. Только тогда дети хорошо усваивают сущность деления, когда сопоставляется с умножением, устанавливается взаимосвязь между этими двумя действиями. Опыт показывает, что вывод деления из умножения без объявления сущности самого процесса деления оказывается малопонятным.

Деление с остатком вводится после изучения табличного деления. На деление с остатком дети допускают много ошибок. Они либо не записывают, либо прибавляют его к частному, либо получают остаток больше делителя.

13. Теоретико-множественный смысл произведения целых неотрицательных чисел. Определение произведения через сумму. Законы умножения.

Произведение целых неотрицательных чисел существует, и она единственна.

1. В магазине имеется 6 ящиков яблок по 5 кг в каждом. Сколько кг яблок имеется в магазине? Данная задача решается умножением, т.к. ей необходимо объединить 6 множеств, в каждом из которых 5 элементов.

Методика обучения письменным приемам деления на однозначное и двузначное число

…………………

Приведите рассуждения учащихся при нахождении значений следующих выражений:

2*6+2 1*6 1*7

2*7+2 10*6 7*1

1. 2*6+2 = ( 2*7=14 –по 2 взяли 6 раз и добавили еще 1 раз, значит по 2 взяли 7 раз).

2. 2*7+2= ( 2*8=16 – по 2 взяли 7 раз и добавили еще 1 раз, значит по 2 взяли 8 раз).

3. 1*6= ( по 1 взяли 6 раз)

4. 10*6 = ( по 1-ому десятку взяли 6 раз и получили 6 десятков, кот. 60)

5. 1*7= (по 1 – ому взяли 7 раз)

6. 7*1= ( частный случай, надо запомнить. После изучения переместительного свойства можно использовать вариант 1*7=)

7. 2*6+2= (по 2 взяли 6 раз и прибавили 2)

а*b=( a – слагаемое, b – количество слагаемых)

Билет №14

1.Теоретико-множ.смысл частного целого неотриц.числа и натур.Оперед.частного через произведение.Условие сущ.частного.

В нач.шк.действ.деления вводится на примере простых задач на деление по содерж.и на дел.на равные части.

Рассм.задачу,которую решают млад.шк.приступая к изучению действия деления: «8 апельсинов разложили на тарелки,по 2 апель.на каждую.Ско-ко раз по 2 апель.положили?Ско-ко тарелок потреб.?»Ответ на вопрос задачи находится при помощи деления:8:2=4.Проанализ.решение задачи.В задачи рассм.множ.,в котором 8 элементов.Оно разбив.на подмнож.,в каждом из которых по 2 элемента.Т.О.,число 4,получ.в ответе, –это числодвух подмнож.,на которое разбито множ.из 8 элементов.

N(А)=8

2 2 2 2

Обратимся к др.задаче: «12 карандашей разделили 3 ученикам поровну.Ско-ко карандашей получил каждый?»Она также решается делением:12:3=4.Но число 4 здесь выступает в др.смысле-как число элементов в каждом из трех равномощ.непересек.подмнож.

Пусть а=n(А) множ.А разбито на попарно непересек.равномощ.подмнож.Если в-число подмнож.в разбиении множ.А,то частным чисел а и в назыв.число элементов каждого подмнож.Если в-число элементов каждого подмнож.в разбиении множ.А,то частным чисел а и в назыв.число подмнож.в этом разбиении.Частным целого неотриц.числа а и натур.числа в называется такое целое неотриц.число с=а:в,произвед.которого и числа в равно а.а:в=с↔а=с*вТеорема.Для того чтобы существовало частное двух натур.чисел а и в,необход.,чтобы в≤а.Док-во:Пусть сущ.такое натур.число с,что а=с*в.Для любого натур.числа с справедливо утвержд.1≤с.Умножим обе части этого неравенства на натур.число в,получим в≤с*в.Поскольку с*в=а,то в≤а.