Шейпак А.А. Гидравлика и гидропневмопривод (часть 2)

Подставим в эту систему значения производных, использующим уравнения (9.15) и (9.16). Причем параметры, относящиеся к соответственным «проточным» элементам, запишем с индексами 1…6, а параметры «узловых» точек – с индексами a…g. Тогда

Перепишем последнюю систему, оставив слева неизвестные давления pc, pd, и pe. Если в исходном уравнении отсутствует слагаемое с каким-то из этих давлений, то его следует добавить с нулевым коэффициентом.

pc (0) + pd (k4) + pe (−k4 − k5 − k6) =

= k4 ∆p5 pe − k5 p f − k5 ∆p5 − k6 pg − k6 ∆p6

Полученная система линейна относительно давлений во внутренних «узловых» точках (pc, pd и pe). Поэтому для её решения может быть использован один из известных математических методов, например метод Рунге-Кутта.

Наиболее затруднительным при его реализации является определение правых частей системы (9.22) на каждом шаге вычислений. Вычисление правых частей уравнений осуществимо при известных давлениях pa, pb, pf и pg в «тупиковых» узлах a, b, f и g, силе на штоке F и расходах в гидро-

линиях 1, 2, 4, 5 и 6.

272

Давление pа может быть определено по (9.18) при предыдущем (или начальном) расходе Q1. Давление pb целесообразно принять на первом цикле вычислений равным начальному, а затем предыдущему значению, определяя его на каждом шаге вычислений с использованием зависимости (5.36). Потери давления в гидролиниях ∆р1, ∆р2, ∆р4, ∆р5 и ∆р6 могут быть также вычислены по начальным значениям расходов Q1, Q2, Q4, Q5 и Q6, а затем по каждому предыдущему значению. Аналогичным образом следует определять силу на штоке гидроцилиндра F по предыдущему значению хода поршня x.

Численная реализация данного решения может быть выполнена с использованием стандартных или специально разработанных программ. Подробнее о данном методе и его реализации на ЭВМ изложено в посо-

бии [2].

273

Для промышленных пневмосистем, работающих при давлении много меньше 10 МПа, воздух можно рассматривать как идеальный газ и при расчетах использовать уравнение (10.1).

Из уравнения Клайнерона выводятся уравнения состояния газа при различных термодинамических процессах.

Если ввести понятие удельный объем w, под которым понимается объем газа, занимаемый единицей массы

В пневмосистемах возможны различные условия теплообмена между газом и окружающей средой. Например, при малых скоростях течения газа в трубе с хорошим теплообменом процесс вполне можно рассматривать как изотермический.

Если процесс изменения параметров газа протекает быстро и теплообменом с окружающей средой практически можно пренебречь, то такой процесс называется адиабатным и описывается уравнением:

pwk = const или ρpk = const,

где k – показатель адиабаты, равный отношению удельных теплоемкостей газа

k = c р . cv

Для воздуха можно считать k = 1,4.

Однако в общем случае в зависимости от конкретных условий процессы изменения параметров газа могут протекать с произвольным теплообменом. Такие процессы называются политропическими и характеризуются уравнением

pwn = const или ρpn = const,

где n – показатель политропы газа, величина которого обычно находится в пределах k ≥ n > 1.

Для некоторых газов при давлении, превышающем 10 МПа, n > k и может достигать значения n = 2 и более.

Для политропических процессов соотношение между давлением р, температурой Т, удельным объемом или плотностью можно выразить как

275

Эта формула будет справедлива и для адиабатического процесса при замене показателя политропы п на показатель адиабаты k.

Приведенные уравнения справедливы лишь для равновесных систем. При движении газа система будет неравновесной. Кроме параметров p, ρ, Т, добавится еще и скорость течения газа V.

Рассмотрим особенности установившегося течения газа в пневмосистемах, которые необходимо учитывать при истечении газа через отверстие, при заполнении или опорожнении емкостей, при течении по трубам и через местные сопротивления.

Во-первых, принимают за условие, что при установившемся течении массовый расход газа одинаков во всех сечениях вдоль потока.

Qm = ρ V S = const ,

где S – площадь сечения потока;

V – скорость течения газа.

В отличие от течения несжимаемой жидкости, для газа не сохраняется постоянство объемного расхода Q, а расход увеличивается вследствие расширения, вызванного понижением давления вдоль потока, а расширение приводит к изменению температуры (10.1). Поэтому уравнение Бернулли для идеального газа отличается от уравнения для идеальной жидкости. Если не учитывать разность нивелирных высот z1 и z2, поскольку плотность газа мала (для воздуха при атмосферном давлении ρ = 1,29 кг/м3), то уравнение Бернулли для политропического процесса можно записать в таком виде

Воспользуемся уравнением Бернулли (10.3) для определения скорости истечения газа через отверстие площадью S = πd42 (рис. 10.1).

Рис. 10.1. Истечение газа через отверстие

276

Считая скорость V1 равной нулю и не пренебрегая потерями при истечении, получим

где p1 и р2 – давление газа, соответственно, в резервуаре и в среде, в которую происходит истечение, или, в общем случае, давление в начале и конце газового потока. Если учесть, что согласно соотношениям (10.2)

то, проведя алгебраические преобразования, массовый расход газа, протекающий со скоростью V через сечение площадью S , можно определить по формуле:

В большинстве промышленных пневмосистем происходит адиабатный процесс изменения параметров воздуха или политропический процесс, когда показатель политропы n близок по своему значению к показателю адиабаты k = 1,4. Поэтому в формулу (10.4) для практических расчетов целесообразно вместо n подставить показатель адиабаты k . Кроме того, в реальных потоках воздуха через отверстия существуют потери, которые, как и при истечении несжимаемой жидкости, учитываются коэффициентом расхода µ, представляющим собой отношение реального расхода к теоретическому.

С учетом сказанного, а также используя выражение закона Клайперона (10.1), преобразуем формулу (10.4) в общую формулу расчета массового расхода воздуха через отверстие площадью S

277

В результате максимальный массовый расход Qm будет при:

Это значение для воздуха при k=1,4 равно ~ 0,528.

На рис. 10.2 пунктиром приведен график, соответствующий функции (10.5). На этом же графике сплошной линией показана реальная, экспериментально подтвержденная зависимость, полученная при условии p1 = const.

Рис. 10.2. Теоретическая и реальная характеристики истечения газа

Очевидно, что в диапазоне 0,528 < p2 < 1 теоретическая и реальная p1

расходятся, причем массовый расход Qm в этой области не зависит от перепада давлений и остается постоянным, равным максимальному.

скорость течения воздуха V2 при таком отношении давлений равна скорости звука, которая для идеального газа определяется формулой

a = kRT .

Для воздуха при k = 1,4 и T = 293ºК получим а = 347 м/с. Поэтому при течении газа всегда рассматриваются две области:

а) подкритическая (дозвуковая), для которой массовый расход определяется формулой (10.5);

278

б) надкритическая (сверхзвуковая), для которой массовый расход определяется по следующей формуле, полученной путем подстановки в фор-

мулу (10.5) значения p2 из формулы (10.6): p1

10.2. Приближенные расчеты течения газа в трубопроводах

Как и в гидравлике, расчет течения газа в трубопроводах сводится к определению потерь по длине трубы. По сравнению с течением несжимаемой жидкости течение газа – более сложное явление, связанное, прежде всего с изменением параметров газа вдоль трубопровода и, следовательно, с изменением скорости и режима течения газа. На практике используют приближенные методы расчета, основанные на допущениях, правомерность которых подтверждена опытным путем.

При достаточно длинном трубопроводе, даже в случае его теплоизоляции, течение газа происходит при постоянной температуре. Если принять, что T = const, то постоянной также будет и вязкость, а следовательно, и число Re. C учетом этого потери по длине трубопровода могут быть определены по известной формуле гидравлики

В эту формулу, в отличие от гидравлики, подставляется среднее зна-

чение плотности ρcp = ρ1 +2 ρ2 , где ρ1 и ρ2 – соответственно, плотность газа

в начале и конце трубы. Для круглой трубы

Vср = 4Qm ,

πd 2ρcp

где Qm – массовый расход, постоянный вдоль потока газа.

Расчеты и опыты показывают, что течение воздуха в трубопроводах

носит обычно турбулентный характер и число Re лежит в пределах от 2300

до 108.

Поэтому величину коэффициента λ, как и в гидравлике, определяют по формуле

где ∆ – абсолютная шероховатость (высота неровностей стенок трубы),

279

Если течение газа по трубопроводу происходит под действием малого

перепада давлений, когда 0,9 ≤ p2 <1, то массовый расход Qm для при- p1

ближенного расчета можно определять по формуле

10.3. Течение газа через местные сопротивления

Специальные местные сопротивления в пневматических системах, как и в гидросистемах, играют важную роль, особенно при построении систем управления и контроля. Наиболее распространенными специальными местными сопротивлениями являются дроссели, которые в пневмосистемах и гидросистемах выполняют одну и ту же задачу и строятся по одному и тому же принципу.

Считая процесс течения воздуха адиабатическим, массовый расход Qm

формулы (10.5) на практике с допустимой погрешностью пользуются формулой

Вэтой формуле (10.9) индексы 1 и 2, соответственно, относятся к се-

чению перед дросселем и за дросселем, Sдр – площадь проходного сечения дросселя, а µ – коэффициент расхода, который определяется так же, как и для несжимаемой жидкости.

Внекоторых элементах пневмоавтоматики для решения конкретных задач дроссели устанавливают последовательно. На рис. 10.3 приведена принципиальная схема такого элемента.

Рис. 10.3. Последовательное включение двух пневмодросселей

280