37.Необходимый признак сходимости ряда.

Если ряд - сход., то предел общего члена при n→∞=0

Док-во:рассмотрим n-ую частичную сумму ряда и (n-1)-ую частичную сумму ряда:

Возьмём предел обеих частей равенства:

38. Признаки сравнения для знакоположительных рядов.

Теорема 1(признак сравнения):

Если даны 2 ряда: 1) , ; 2) , n= 1, 2,…

для которых , то 1ый ряд наз-сяможарируемым, а 2ой – можарантным.

Если 2ой ряд сход-ся, то сход-ся и 1й ряд. Если 1 ряд расх-ся, то расх-ся и 2ой ряд.

Теорема 2 ( признак сравнения в предельной форме):

Если даны 2 ряда: 1) , ; 2) , n= 1, 2,…

И , то

1. Если сущ-т предел (С≠0, С≠∞), то оба ряда либо одновременно сход-ся, либо одновременно расх-ся.

2. Если , то из сход-тиможарантного ряда следует сход-тьможарируемого ряда.

3. Если , то из расх-тиможарантного ряда следует расх-тьможарируемого ряда.

Замечание: теорема 1 и 2 на практике не всегда удобны, т.к. для исследования сход-ти 1го из рядов необходимо знать поведение другого ряда или подбирать такой ряд, поведение которого известно.

Пример1: исследовать на сходимость ряд

Сравним его с гармоническим рядом >

Гармонический ряд расх-ся, поэтому расх-ся и данный ряд по 1му признаку сравнения.

Пример2: исследовать сход-ть ряда Для сравнения возьмём обобщенный гармонический ряд , кот-й сх-ся при α>1 и расх-ся при α≤1. . Ряд сх-ся. Положим . Применяем 2ой признак сравнения:

Мы сравнивали данный ряд со сх-ся рядом. По второму признаку сравнения данный ряд сх-ся.

39.Признак Даламбера и Коши для знакоположительных рядов. Примеры.

Признак Даламбера:Для ряда вычисляется предел отношения и сравнивается с 1.

1. Если l> 1 , то исслед-ый ряд расх-ся

2. Если l< 1, то исслед-ый ряд сх-ся

3. Если l=1 , то о поведении ряда ничего сказать нельзя, нужны доп.исследования – другие признаки.

Пример: исследовать на сход-ть ряд

,

По признаку Даламбера ряд сход-ся.

Признак Коши:

Для ряда вычисляется предел и сравниваем его с 1.

1. Если l> 1 , то исслед-ый ряд расх-ся

2. Если l< 1, то исслед-ый ряд сх-ся

3. Если l=1 , то о поведении ряда ничего сказать нельзя, нужны доп.исследования – другие признаки.

Пример: исследовать на сход-ть ряд

следовательно ряд сх-ся.

42.Признак Лейбница

Если члены знакочередующегося ряда убывают по абсолютной величине и , то ряд сходится, а его сумма S положительна и не превосходит первого члена: S<=

Пример . Ряд из модулей имеет вид — это гармонический ряд, который расходится.

Теперь воспользуемся признаком Лейбница:

знакочередование выполнено , ,

Следовательно, так как все условия выполнены, но ряд из модулей расходится, искомый ряд сходится условнo

41.Знакопеременные и знакочередующиеся ряды. Понятие абсолютной и условной сходимости. Знакочередующиеся ряды Лейбницевского типа

Знакопеременный ряд – ряд, содержащий как положительные так и отрицательные члены. Знакопеременный ряд называется знакочередующимся, если его члены попеременно принимают значения противоположных знаков .

Если ряд, состоящий из абсолютных величин, сходится, то знакочередующийся ряд сходится абсолютно. . В случае, если ряд сходится при отсутствии абсолютной сходимости, то он называется условно сходящимся.

Знакочер-ся ряды называются рядами л.типа, если они удовлетворены двум условиям:

1) .

Примеры: