21.Теорема об и с переменным верхним пределом
Одним
из важных понятий для непрерывных и
интегрируемых на сегменте [a,b] функций
является понятие интеграла с переменным
верхним пределом.Пусть функция f(x)
интегрируема на любом сегменте
[α,β]Є(а;в)и
пусть c - некоторая фиксированная точка,
принадлежащая интервалу (a,b), тогда,
каково бы ни было число хЄ( a,b), функция
f(x) интегрируема на [c,x], и на интервале
(a,b) определена функция F(x)=
,
которая называется интегралом с
переменным верхним пределом.
Теорема.
Любая непрерывная на интервале (a,b)
функция f(x) имеет на этом интервале
первообразную. Одной из первообразных
является функция F(x)=
,где
с - любая фиксированная точка интервала
(a,b).Достаточно доказать, что для
(
х берем таким, чтобы (х +∆x)Є(a,b)). Рассмотрим
разность F(x+∆x)-F(x)=
=
+
-
=
=f(z)∆x,где
z-некоторое число, заключенное между х
и х +∆x.Так как f(x) непрерывна в точке х,
то при∆x⟶0
f(z)⟶f(x)
,то
Следовательно,
существует F`(x)=
и
F`(x)=f(x).Теорема доказана.
13. инт-лы от функций, содержащих квадратный трёхчлен…
I
II
Интегралы первого типа берутся с помощью замены переменной, предварительно выделив в многочлене Р2(х) полный квадрат
Для
нахождения интеграла второго типа
необходимо выполнить следующий
алгоритм:1.Находим производную кВ-го
трехчлена, стоящего в знаменателе, т.е.
2.Формируем эту произв-ю в числителе подынтегральной функции
3.Разбиваем
этот интеграл на два, вида:
второй интеграл типа I
, а первый берётся путем поднесения
под знак дифф-ла:
Пр.:
(
,
A=
B=
=
=
A+B=…
24.Вычисление площадей плоских фигур.
1)Вычисление S плоских фигур
У=f1(х)
S1У=f2(x)S2
а в
f1(x)≥f2(x) ɎxЄ[а;в]
(1)Sкр.трап.=авf1x-f2(x))dx
Док-во
это ф-лы основано на том,что искомая
Sкр.трап=Sкр.трап.1-Sкр.трап.2
; авf1x-f2(x))dx=
dx-авf2xdx
Она справедлива также,есликр.трап.леж.под осью Ох,в этом случае,также как и врассмотренном выше,используется ф-ла (1), в кот.необход.правильно подставить ф-циюf1(лежит выше),f2(лежит ниже)
g1(x)
g2(x)
Sкр.трап.=ав(g1x-g2x)dx
Ч
в
асто встреч.задачи,в кот.Sкр.трап.сост.из «кусков»
c1 с2
а
у
S=S1+S2+S3; f(x)=0 =>c1 b c2-корни
S1=ас1fxdx; S2=-с1с2fxdx;S3=с2вfxdx;
2)вычисление дуг плоских кривых:
LАВ=ав1+(f`x)2dx
В
У=f(x)
А
3)вычисление Vтел вращения:рассм.на декартовой плоскости дугуАВ на отр.[а;в].Если эту дугу вращать вокруг оси Ох,тополуч.объёмное тело Vох=Павf2xdx
в
В
Е
а
сли
эту дугу вращать вокруг оси Оу,тоVоу=2Павхfxdx
А
а в