32. Метод Эйлера (метод характеристического уравнения)

нахождения общего решения ОЛДУ II с постоянными коэффициентами.

Для нахождения ф-ий у₁ и у₂ Эйлером был предложен метод,

так называемого характеристического уравнения, с помощью

которого ищется у₁ и у_2, а=> и общее решение уравнения y’’ + py’ + qy = 0 (1)

Суть метода состоит в том что вместо исходного ДУ (1)

решается так называемое характеристическое уравнение которое

получается из ур-я (1) с помощью замены у’’→k² , y’→k, y→1. т.о

уравнению (1) соответствует характеристическое ур-е k²+pk+q=0 (2)

– квадратное ур-е, корни которого опред. стр-ру ф-ий у₁ и у₂ в

зависимости от его дискриминанта.

Рассмотрим возможные варианты:

1.Пусть квадратное хар. ур-е имеет D>0, в этом случае

Ур-е (2) имеет два различных действительных корня,

которые мы обозначим k₁ и k₂ принадлежат R.

у₁ =е^k1x , y₂=e^k2x , а у_оо=С₁е^k1x+С₂e^k2x

2.D=0

При решении квадратного ур-я (2) имеется два действительных

совпадающих корня k₁ и k₂ ( k₁ =k₂=k) принадлежит R. в этом случае

у₁=kx, y₂=xe^kx

y_oo= С₁е^kx+С₂xe^kx

3.D<0

В этом случае имеется два комплексно сопряженных корня

k₁=α+βi и k₂= α-βi принадлежат C.

В этом случае у₁ =e^αxcosβx и у₂=e^αxsinβx

33. Структура общего решения линейного неоднородного

дифференциального уравнения II порядка.

y’’ + py’ + qy = f(x) (1)

y_oн=y_oo+y_чн ,где y_oo – общее решение соотв. однородного ДУ

y_чн – какое-то частное решение ур-я (1)

y_oн – общее решение (1)

Т. о структуре общего решения неоднородного ЛДУ II

Если y_oн это решение (1), то будучи подставленным в него, Обращает это уравнение в тождество.

y_oн=y_oo+y_чн

лдя этого найдем 1-ую и 2-ую производные.

y’_oн=y’_oo+y’_чн

y’’_oн=y’’_oo+y’’_чн

y’’_oo+y’’_чн+p(y’_oo+y’_чн)+q(y_oo+y_чн)=f(x)

преобразуем левую часть равенства.

(y’_oo+py’_oo+qy_oo)+(y’’_чн+py’_чн+qy_чн)=f(x) => f(x)=f(x)

первая скобка обращается в 0 т.к y_oo – общее решение соотв. однородного ур-я, а значит будучи подставленным в него, обращает уравнение в тождество т.е 0 вторая скобка = f(x) т.к y_чн – частное решение неоднор. ур-я. Т.е будучи подставленным в него обращает (1) в тождество (в f(x))

34. Метод вариации произвольной постоянной.

y’’ + py’ + qy = f(x) (1)

Для решения (1) Ла Гранже и был предложен универсальный метод. суть: он предложил искать решение неоднородного ур-я в том же виде что и решение соотв. однородного ур-я, пологая только что С₁ и С₂ – не константы, а ф-ии завис. от х. т.к y_оо=c₁y₁+c₂y₂ ,то структура y_он=с₁(x)y₁+с₂(x)y₂

фактически для нахождения y_он необходимо найти y₁ и y₂ из решения соотв. однородного ДУ, а затем определить ф-ии с₁(x) и с₂(x)… y₁ и y₂ ищем с помощью соотв. Характерестич. Ур-я. Для нахождения с₁(x) и с₂(x) учтем, что y_он – решение(1) Значит будучи подставленным в него, обращает (1) в тождество.

y’_он=(с₁(x)y₁+с₂(x)y₂)’=(с₁(x)y₁)’+(с₂(x)y₂)’=с₁’(x)y₁+с₁(x)y₁’+с₂’(x)y₂+с₂(x)y₂’ т.к вместо С₁ и C₂(констант) стали рассматрив. Ф-ии с₁(x) и с₂(x) то появилась лишняя степень, которой свободно можем распоряжаться: полагаем что с₁’(x)y₁+ с₂’(x)y₂=0 оставшееся выражение y’_он=с₁(x)y₁’+с₂(x)y₂’ диф. еще раз.

y’’_он= с₁’(x)y₁’+с₁(x)y₁’’+с₂’(x)y₂’+с₂(x)y₂’’ подставляем получ выражение в исходное ДУ

с₁’(x)y₁’+с₁(x)y₁’’+с₂’(x)y₂’+с₂(x)y₂’’+p(с₁(x)y₁’+с₂(x)y₂’)+q(с₁(x)y₁+с₂(x)y₂)=f(x)

раскрываем скобки и перегруппируем слагаемые с₁(x)(y₁’’+py₁’+qy₁)+c₂(x)(y₂’’+py₂’+qy₂)+с₁’(x)y₁’+с₂’(x)y₂’=f(x)

1-ая скобка обращается в 0 т.к по формуле y_оо=c₁y₁+c₂y₂ , y₁ и y₂ – линейное независимое решение соотв. однор. ур-я. Т.О для нахождения неизвестных ф-ий с₁(x) и с₂(x) необходимо решить систем ДУ

с₁’(x)y₁’+с₂’(x)y₂’=f(x)

с₁’(x)y₁+ с₂’(x)y₂=0