Интегральный признак Коши

Разочарую тех, кто плохо усвоил материал первого курса. Для того чтобы применять интегральный признак Коши необходимо более или менее уверенно уметь находить производные, интегралы, а также иметь навык вычисления несобственного интегралапервого рода.

В учебниках по математическому анализу интегральный признак Коши дан математически строго, но слишком уж поморочено, поэтому я сформулирую признак совсем примитивно, но понятно. И сразу примеры для пояснения.

Интегральный признак Коши: Рассмотрим положительный числовой ряд  . Данный ряд сходится или расходится вместе с соответствующим несобственным интегралом.

86. Интегральный сходимости знакопостоянных рядов.

Теорема. Пусть члены ряда u1+u2+…+un (1) положительны и не возрастают, т. е. u1≥u2≥u3…, и пусть f(x) такая непрерывная невозрастающая ф-ция, что f(1)=u1, f(2)=u2 … f(n)=un/

Тогда справедливы след. Утверждения:

1. Если несоб. Интеграл сходится, то сходится и ряд(1)

2. Если указанный интеграл расходится, то расходится и ряд (1)

87. Знакочередующийся ряд. Теорема Лейбница.

Ряд называется знакочередующимся, если его члены попеременно принимают значения противоположных знаков, т. е.:

Признак Лейбница

Пусть для знакочередующегося ряда

выполняются следующие условия:

1. (монотонное невозрастание {an} по абсолютной величине)

2.

Тогда этот ряд сходится.

88. Степенной ряд. Теорема Абеля.

Функциональный ряд вида (где x0 и - заданные числа) называется степенным рядом. Степенной ряд сходится в точке x = x0 всегда. Задача - исследовать степенной ряд на сходимость . С помощью замены t = x − x0 данный степенной ряд можно привести к виду - сходится при t = 0.

Теорема Абеля. Пусть степенной ряд сходится в какой-то точке . Тогда этот ряд сходится (абсолютно).

Доказательство. Ряд сходится в точке x1 в обычном смысле сходится числовая последовательность сходится к нулю ограничена, т.е.

Рассмотрим . Обозначим

Рассмотрим : сходится, следовательно числовой ряд (для фиксированного x) сходится по признаку сравнения сходится абсолютно на множестве | x | < | x1 |.

Следствие. Если степенной ряд расходится в точке x2, то этот ряд расходится .

89. Интервал и радиус сходимости степенного ряда.

Определение 1. Ряд вида   называется функциональным рядом. При   данный ряд превращается в числовой ряд  , который можно исследовать на сходимость.

Определение 2. Множество действительных чисел А называется областью сходимости функционального ряда, если для любых   соответствующий числовой ряд сходится.

Функциональный ряд является функцией, определенной на области сходимости.

Определение 3. Функциональный ряд, расположенный по положительным возрастающим степеням переменнойх, называется степенным рядом.

 где   - некоторые числа.

Теорема. Для любого степенного ряда существует число   такое, что при   ряд сходится, при   ряд расходится, при   вопрос открыт.

.

Число R называется радиусом сходимости степенного ряда, (-R;R) - интервал сходимости степенного ряда.

Так называется интервал, в каждой точке которого степенной ряд с действительными членами сходится, причем абсолютно. На каждом из концов этого интервала ряд может как сходиться (абсолютно или условно), так и расходиться. Вне этого интервала ряд расходится. Заметим, что интервал сходимости существует для каждого сходящегося хоть на каком-нибудь интервале степенного ряда. Для ряда, сходящегося только в одной точке, интервал получается вырожденным. Для расходящегося ряда интервал равен пустому множеству.

Пример.  .

.

Интервал сходимости (-1,1).

При х=1 получаем ряд  . Он расходится.

При х= -1 получаем ряд  . Он сходится.

Итак, при   ряд сходится (область сходимости), при   ряд расходится.