29. Шаровые мельницы. Угол отрыва. Критическая частота вращения.

Предельное число оборотов барабана мельницы, при котором окружная скорость становится критической, определяется из условий равновесия силы тяжести шара и центробежной силы инерции, действующей на шар, прилегающий к внутренней поверхности барабана.

В точкеАверхнего квадранта (рис. 68) на шар действуют сила тяжести С и центробежная сила инерции, равная (269)

где т— масса шара, кг;

G— сила тяжести шара, равная mg, н;

v— окружная скорость барабана, м/сек;

g— ускорение силы тяжести, м/сек²;

R— расстояние от центра шара до центра барабана, м.

Сила тяжести и центробежная сила инерции приложены к центру шара, поэтому правильней было бы принимать в формуле (269) расстояние от цент­ра шара до центра барабана равным R— r, где r— радиус шара. Практически величина rпо сравнению с Rнезначительна и в дальнейшем, без заметной погрешности, вместо R— r будем принимать R.

Центробежная сила Рнаправлена по радиусу под углом α к горизонту (см. рис. 68). Угол а между вертикальным диаметром барабана и радиусом, соединяющим центр барабана с точкойА, называется углом отрыва, а точка А, в которой шар покидает круговую траекторию,— точкой отрыва.

Рис. 68. Схема к определению скорости вращения барабана мельницы

Силу тяжести Gразложим на две составляющие: касательнуюТи нормальную Q:

Т = Gsinα н, (270)

Q = G н, (271)

Сила Q, противодействующая центро­бежной силе инерции Р, достигает макси­мальной величины при cosα=l, т.е при

Критическая же скорость, при которой шары начинают не отрываться от внутренней поверхности барабана, будет достигнута в том случае, когда центробежная сила инерции станет большей или равной

максимальной величине силы Qт. е. равной или большей силы G. На основании изложенного можем записать:

где G— сила тяжести, равная mg, н.

Заменяя величину окружной скорости vвыражениемv= 2 Rn,получим

(274)

Откуда получим, что критическая скорость будет достигнута при числе оборотов барабана, равном

где D— внутренний диаметр барабана, м.

Для шара, находящегося в точке A, его отрыв от стенки барабана и переход на параболическую траекторию возможен только при условии, что

Q=Gcosα P (276)

или, согласно формуле (269),

откуда и далее (279)

Согласно формуле (275), критическая скорость равна n_кр=0,5/ об/сек.Заменяя в формуле (279) через n_кр, получим

Скорость вращения барабана мельницы принято определять в долях критической скорости. Из формулы (280) устанавливаем, что эта доля равна величине , т. е. Наивыгоднейшая скорость вращения барабана, а следовательно и наивыгоднейшее число его оборотов, будет при наибольшей высоте падения шаров при заданных условиях, поскольку в этом случае живая сила удара по куску материала наибольшая.

ТочкаВ(см. рис. 68), в которой падающий шар встречается с барабаном мельницы, называется точкой падения.

Согласно формуле (279), наивыгоднейшее число оборотов барабана бу­дет при данном радиусе барабана R, при котором угол отрыва шарова будет также наивыгоднейшим.

Согласно формуле (298), высота падения шара от точкиАдо точки В равнялась

У _B= —4Rsin²αcosа м.

Поскольку знак минус указывает, что ордината Y_Bнаправлена вниз от оси абсцисс, мы его отбрасываем, так как нам необходима только абсолютная величина падения.

Скорость шара в момент падения его в точкуВбудет максимальной при Ymax'Приравнивая первую производную находим этот максимум: Дифференцируя, получим

Очевидно, что угол отрыва а не равен нулю, так же как и радиус R. Следовательно,2 cos²a — sin²a = 0. (308)

Преобразовывая уравнение (308), получим 2-tg²a=0, tg²a=2, откуда угол отрываα = 54 40'.Угол отрыва а=54°40' является наивыгоднейшим для любого слоя шаров, а не только для внешнего, и при этом будет производиться наибольшая работа измельчения.

Зная наивыгоднейший угол отрыва, мы сможем определить также и наивыгоднейшую скорость.

Согласно формуле (280), имеем

n=n_{кр =}n_{кр =}n_кр0,758, (310)

п= 0,758n_кроб/сек.

Согласно формуле (275),

об/сек.

Анализируя формулы (321) и (322), устанавливаем, что угол отрыва шара внешнего слоя а_хзависит только от скорости вращения барабана мельницы. Величина же угла отрыва шара внутреннего ряда ₂ зависит и от скорости г|э и от величины k. С изменением степени заполнения барабана шарами Ф изменяется также и радиус R₂внутреннего ряда шаров, а следовательно, и величина /г.