- •Определение двойного интеграла и его основные свойства.
- •Сведение двойного интеграла к повторному.
- •Тройной интеграл, сведение его к повторному.
- •Криволинейные координаты на плоскости и в пространстве. Координатные линии и поверхности. Полярные, цилиндрические и сферические координаты.
- •Замена переменных в двойном интеграле. Пример: случай полярных координат.
- •Замена переменных в тройном интеграле. Примеры: случаи цилиндрических и сферических координат.
- •Вычисление площади гладкой поверхности, заданной параметрически и в явном виде. Элемент площади поверхности.
- •О пределение криволинейного интеграла первого рода, его основные свойства и вычисление.
- •Определение криволинейного интеграла второго рода, его основные свойства и вычисление. Связь с интегралом первого рода.
- •Формула Грина. Условия того, что криволинейный интеграл на плоскости не зависит от пути интегрирования.
- •О пределение поверхностного интеграла первого рода, его основные свойства и вычисление.
- •Определение поверхностного интеграла второго рода, его основные свойства и вычисление. Связь с интегралом первого рода.
- •Теорема Гаусса-Остроградского, её запись в координатной и векторной (инвариантной) формах.
- •Теорема Стокса, её запись в координатной и векторной (инвариантной) формах.
- •Условия того, что криволинейный интеграл в пространстве не зависит от пути интегрирования.
- •Скалярное поле. Градиент скалярного поля и его свойства. Вычисление градиента в декартовых координатах.
- •Определение векторного поля. Поле градиента. Потенциальные поля, условия потенциальности.
- •Поток векторного поля через поверхность. Определение дивергенции векторного поля и её свойства. Вычисление дивергенции в декартовых координатах.
- •Соленоидальные векторные поля, условия соленоидальности.
- •Циркуляция векторного поля и ротор векторного поля. Вычисление ротора в декартовых координатах.
- •Оператор Гамильтона (набла), дифференциальные операции второго порядка, связь между ними.
- •Основные понятия, относящиеся к оду первого порядка: общее и частное решения, общий интеграл, интегральные кривые. Задача Коши, её геометрический смысл.
- •Интегрирование оду первого порядка с разделяющимися переменными и однородных.
- •Интегрирование линейных оду первого порядка и уравнений Бернулли.
- •Интегрирование оду первого порядка в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель.
- •Метод введения параметра. Интегрирование оду первого порядка Лагранжа и Клеро.
- •Простейшие оду высших порядков, интегрируемые в квадратурах и допускающие понижение порядка.
- •Нормальная форма системы линейных оду, скалярная и векторная (матричная) запись. Задача Коши для нормальной системы линейных оду, её геометрический смысл.
- •Линейно-зависимые и линейно-независимые системы вектор-функций. Необходимое условие линейной зависимости. Теорема об определителе Вронского решений системы однородных линейных оду.
- •Теорема об общем решении (о структуре общего решения) нормальной системы неоднородных линейных оду.
- •Метод вариации произвольных постоянных для отыскания частных решений нормальной системы неоднородных линейных оду.
- •Фундаментальная система решений нормальной системы однородных линейных оду с постоянными коэффициентами в случае простых действительных корней характеристического уравнения.
- •Метод вариации произвольных постоянных для отыскания частных решений неоднородного линейного оду.
- •Фундаментальная система решений однородного линейного оду с постоянными коэффициентами в случае простых корней характеристического уравнения, действительных или комплексных.
- •Фундаментальная система решений однородного линейного оду с постоянными коэффициентами в случае, когда имеются кратные корни характеристического уравнения.
- •Отыскание частных решений неоднородного линейного оду с постоянными коэффициентами и специальной правой частью.
- •Теорема существования (локальная) решения задачи Коши для оду первого порядка.
- •Теорема единственности решения задачи Коши для оду первого порядка.
Нормальная форма системы линейных оду, скалярная и векторная (матричная) запись. Задача Коши для нормальной системы линейных оду, её геометрический смысл.
Система обыкновенных дифференциальных уравнений вида: называется линейной системой. В векторной (матричной форме) , где А – матрица системы, b(x)-неоднородность. Нормальной системой дифференциальных уравнений называется система дифференциальных уравнений первого порядка, разрешенных относительно производной: Здесь n – порядок системы, x – вещественная независимая переменная, – искомые вещественные функции. Если ввести в рассмотрение вектор-функции: , – (1) векторная форма.
Р ешением системы обыкновенных дифференциальных уравнений называется вектор функция , которая определена и непрерывно дифференцируема на промежутке (a,b) и удовлетворяет системе (1) на этом промежутке.
Линейно-зависимые и линейно-независимые системы вектор-функций. Необходимое условие линейной зависимости. Теорема об определителе Вронского решений системы однородных линейных оду.
Функции y1(x), y2(x), ..., yn(x) линейно зависимы на отрезке [a;b] тогда и только тогда, когда хотя бы одна из них является на этом отрезке линейной комбинацией других. Свойства:
Если среди функций y1(x), y2(x), ..., yn(x) есть нулевая функция, то функции линейно зависимы.
Если функции y1(x), y2(x), ..., yk(x) линейно зависимы, то при любых yk + 1(x), yk + 2(x), ..., yn (x) функции y1(x), y2(x), ..., yk(x), yk + 1(x), ..., yn(x) также линейно зависимы.
Если функции y1(x), y2(x), ..., yn(x) линейно зависимы на отрезке [a;b] , то они линейно зависимы и на любом отрезке, лежащем внутри [a;b] .
Если функции y1(x), y2(x), ..., yn(x) линейно независимы на [a;b] , то они линейно независимы и на любом отрезке, содержащем отрезок [а;b] (если они определены на этом отрезке).
Вектор–функции называются линейно зависимыми на отрезке [a;b] , если существуют постоянные α1, α2, ..., αn , не равные нулю одновременно и такие, что α1 Y1(x) + α2 Y2(x) + ... + αn Yn(x) = 0 для всех x из отрезка [a;b].
В противном случае функции Y1(x), Y2(x), ..., Yn(x) называются линейно независимыми.
Определителем Вронского W(x; y1(x), y2(x), ..., yn(x)) называется определитель, первая строка которого образована функциями y1(x), y2(x), ..., yn(x) из Cn-1[a, b] , а последующие строки образованы производными от функций предыдущей строки:
Справедливо следующее необходимое условие линейной зависимости функций:
Если функции y1(x), y2(x), ..., yn(x) линейно зависимы на отрезке [a;b], то их определитель Вронского тождественно равен нулю на этом отрезке: W(x;y1(x),y2(x),...,yn(x)) ≡ 0 на [a;b].
Важно понимать, что обратное утверждение неверно. Определитель Вронского линейно независимой системы функций может быть тождественно равен нулю. Однако, если определитель Вронского системы функций на некотором отрезке отличен от тождественного нуля, то система функций линейно независима на этом отрезке.
Фундаментальные системы решений нормальной системы однородных линейных ОДУ. Теорема существования фундаментальных систем. Теорема об общем решении (о структуре общего решения) нормальной системы однородных линейных ОДУ.
Система обыкновенных дифференциальных уравнений вида:
называется линейной системой. При система становится однородной. В векторно-матричной форме: , где ,
Будем искать решение . Ищем решение системы в таком виде:
Фундаментальной системой решений системы уравнений (*) называется системы из n линейно независимых вектор-функций.
Теорема о структуре общего решения линейного однородного дифференциального уравнения. Общее решение y(x) линейного однородного дифференциального уравнения есть линейная комбинация функций из фундаментальной системы решений этого уравнения: .