39. Метод вариации произвольных постоянных для отыскания частных решений неоднородного линейного оду.

Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение с непрерывными на [a; b] коэффициентами и непрерывной правой частью. Предположим, что известна фундаментальная система решений соответствующего однородного уравнения (2). Будем искать частное решение неоднородного уравнения в виде где - неизвестные, n раз дифференцируемые на [a; b] функции. Их называют варьируемые постоянные общего решения однородного уравнения.

Пусть — фундаментальная система решений однородного уравнения   (2) с непрерывными на отрезке [a;b] коэффициентами. Если правая часть f(x) неоднородного уравнения  (1) непрерывна на [a; b], то его частное решение можно искать в виде:

Неизвестные функции находятся из системы: Такой метод называется методом вариации произвольных постоянных или методом Лагранжа.

40. Фундаментальная система решений однородного линейного оду с постоянными коэффициентами в случае простых корней характеристического уравнения, действительных или комплексных.

Вопрос убран.

41. Фундаментальная система решений однородного линейного оду с постоянными коэффициентами в случае, когда имеются кратные корни характеристического уравнения.

Вопрос убран.

42. Отыскание частных решений неоднородного линейного оду с постоянными коэффициентами и специальной правой частью.

Неоднородное линейное ОДУ: , где

Уравнение (*) имеет справа неоднородность f(x) специального вида, т.е. типа решений однородного уравнения , где (не разбирали, что такое P), α – постоянное число вещественное или комплексное. Общее решение неоднородного уравнения в этом случае есть сумма общего решения однородного уравнения плюс частное решение неоднородного, которое надо искать в виде , где Q(x) – многочлен той же степени, что и P(x) (если α – НЕ (!!) корень характеристического многочлена).

Абзац из учебника. (не разбирали). Коэффициенты полинома Q(x) определяются подстановкой в (*) и приравниванием коэффициентов при одинаковых степенях x в левой и правой частях полученного равенства. Искомые коэффициенты найдутся и притом единственным образом, так что уравнение (*) имеет только одно частное решение вида .

Если же α совпадает с корнем характеристического многочлена кратности r, то частное решение неоднородного уравнения надо искать в виде , где Q имеет такой же вид, как написано выше. Коэффициенты тоже определяются подстановкой в (*).

Пример.

Найдём решение однородного уравнения:

, ,

,

Общее решение однородного уравнения:

а) Найдём частное неоднородное первое решение, то есть:

б) Найдём частное неоднородное второе решение, то есть:

Ответ: .

43. Теорема существования (локальная) решения задачи Коши для оду первого порядка.

Вопрос убран.

44. Теорема единственности решения задачи Коши для оду первого порядка.

Вопрос убран.