20. Циркуляция векторного поля и ротор векторного поля. Вычисление ротора в декартовых координатах.

Циркуляцией векторного поля называется криволинейный интеграл второго рода, взятый по произвольному замкнутому контуру L:

Г де — векторное поле (или вектор-функция), определенное в некоторой области D, содержащей в себе контур L, — бесконечно малое приращение радиус-вектора вдоль контура. Окружность на символе интеграла подчёркивает тот факт, что интегрирование производится по замкнутому контуру.

Циркуляция по контуру, ограничивающему несколько смежных поверхностей, равна сумме циркуляций по контурам, ограничивающим каждую поверхность в отдельности, то есть

– формула Стокса в векторном виде.

Вихревым вектором (вихрем) или ротором векторного поля называется вектор, имеющий координаты:

Ротор в декартовых координатах:

Если , то векторное поле называется безвихревым или потенциальном.

21. Оператор Гамильтона (набла), дифференциальные операции второго порядка, связь между ними.

Оператор набла (оператор Гамильтона) – векторный дифференциальный оператор, обозначаемый символом . Для трёхмерного евклидова пространства в прямоугольных декартовых координатах оператор набла определяется следующим образом:

22. Основные понятия, относящиеся к оду первого порядка: общее и частное решения, общий интеграл, интегральные кривые. Задача Коши, её геометрический смысл.

Дифференциальным уравнением называется соотношение , в котором x – независимая переменная, y – искомая функция. Это обыкновенное дифференциальное уравнение (ОДУ) первого порядка.

– уравнение, разрешённое относительно производной.

f(x,y) – заданная, непрерывная в некоторой области D переменных (x,y) функция.

П усть . График функции называется интегральной кривой, – изоклины кривые.

Пусть правая часть уравнения (*) не зависит от y, то есть , тогда .

На рисунке представлено семейство интегральных кривых, зависящих от одного параметра C.

Пусть . Будем считать независимой переменной y, а x – функция от y, то есть . Тогда . Но если и это уравнение имеет корень , то добавляется решение, которое надо добавить к общему семейству, зависящему от параметра C.

Всякая функция вида при подстановке в (*), после чего (*) становится тождеством, является решением (общим решением дифференциального уравнения (*)).

Если C взято равным конкретному числу, то решение φ(x,C₀) называется частным решением уравнения (*). - отсюда находится значение C.

У словие Коши – когда указано, какому x₀ соответствует y₀. Задача Коши: – условие уравнения + условие Коши, то есть . Задачу Коши геометрически можно сформулировать так: среди всех интегральных кривых уравнения (*) найти ту кривую (рисунок слева), которая проходит через заданную точку (x₀, y₀).

Пример. Дано: и . Решить задачу Коши.

Когда , то :

– частное решение задачи Коши.

23. Интегрирование оду первого порядка с разделяющимися переменными и однородных.

Уравнением с разделенными переменными называется дифференциальное уравнение вида: с непрерывными функциями f(х) и g(y). Равенство , где C — произвольная постоянная, определяет общий интеграл уравнения с разделёнными переменными.

Принцип решения таких уравнений:

Если дано условие Коши, то есть и , то . Если и уравнение имеет корень , то это решение добавляется к основному семейству.

Определение однородной функции. Функция f(x,y) называется однородной функцией своих переменных x и y, если, каково бы ни было число , выполняется следующее: , где p – степень (показатель) однородности. Например, – однородная функция, степень однородности , так как . Степень p может быть равной нулю, если .

Уравнение называется однородным, если функция, стоящая в правой части, является однородной функцией своих переменных. Пусть f(x,y) будет однородной функцией степени 0, то есть . Пусть , тогда . Уравнения такого типа решаются заменой (переходом к новой функции): .

– общее решение.

Если , а , то:

Если , то уравнение имеет корень u₀, тогда: – решение: – прямая наряду с семейством.

Общий вид однородного уравнения, если его записать в виде дифференциалов:

То есть M(x,y) и N(x,y) должны быть однородными функциями одной и той же степени однородности.