Прямая в пространстве. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве.

Прямая в пространстве может быть задана системой уравнений двух плоскостей

, (1)

пересекающихся по этой прямой.

Уравнения (1) называются общими уравнениями прямой. Для решения задач уравнения (1) не всегда удобны, по этому используют специальный вид уравнения прямой.

Пусть дана прямая L и ненулевой вектор лежащий на данной прямой или параллельно ей. На прямой L возьмем точку M тогда уравнение этой прямой можно записать следующим образом

(2)

Уравнение (2) называется каноническим уравнением прямой.

От канонических уравнений прямой, введя параметр легко можно перейти к параметрическим уравнением:

(3)

Пусть заданы две прямые каноническими уравнениями.

и

При любом расположении этих прямых в пространстве, один из двух углов между ними равен углу между их направляющими векторами . Угол можно вычислить по формуле

(4)

Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых в пространстве имеют следующий вид

(5)

(6)

Рассмотрим теперь взаимное расположение прямой и плоскости Ax+By+Cz+D=0.

Угол между прямой и плоскостью определяется по формуле

(7)

Условием параллельности прямой и плоскости является условие

(8)

а условием перпендикулярности прямой и плоскости

(9)

Лекции 29-32.

Функция. Действительные числа. Предел функции. Односторонние пределы функции.

Совокупность рациональных Q и иррациональных чисел образует множество действительных (вещественных) чисел R. Между множе­ством точек прямой и множеством R всегда можно установить взаимно однозначное соответствие. Если это соответствие установлено, то прямую называют числовой осью. Совокупность всех чисел х, удовле­творяющих условию а<х<b (а х b), называется интервалом (от­резком) и обозначается (a; b) ([а; b]).

Модулем (абсолютной величиной) действительного числа а назы­вают неотрицательное число |а|, определяемое условиями: =а, если а 0, и = -а , если а < 0. Для любых действительных чисел а и b верно неравенство |а+ b| |а|+| b|.

Пусть функция у=f(х) определена в некоторой окрестности точки х₀. Тогда число А называется пределом функции у=f(х) при х х₀ (в точке х=х₀), если для любого >0 существует = ( )>0, такое, что при 0 <|х—х₀|< справедливо неравенство |f(х)-А|< .

Если А – предел функции f(х) при х х₀, то записывают это так

В самой точке х₀ функция f(х) может и не существовать (f(х₀) не опре­делено). Аналогично запись обозначает, что для любого >0 существует N=N( )>0, такое, что при |х|>N выполняется неравенство |f(х)-А|< .

Если существует предел вида , который обозначают также или f(х₀-0), то он называется пределом слева функции f(х) в точке x₀. Аналогично если существует предел вида (в другой записи или f(x₀+0)), то он называется пределом справа функции f(х) в точке x₀. Пределы слева и справа называются односто­ронними. Для существования предела функции f(х) в точке x₀ необходимо и достаточно, чтобы оба односторонних предела в точке x₀ существовали и были равны, то есть f(x₀-0)=f(x₀+0).