Тема 3: Аналитическая геометрия

1. Даны вершины треугольника А(7; 9), В(2; -3) и С(3; 6). Найти: а) точку М пересечения медиан треугольника; б) точку Е пересечения биссектрисы АЕ со стороной ВС.

Решение:

а) По формуле найдём середину D стороны СВ:

, ,

т.е. . Точка М пересечения медиан треугольника делит любую медиану, на АD, в отношении (считая от вершины). Следовательно, по формуле найдем

, , т.е. .

б) По формуле найдём длины сторон АС и ВС:

, .

Так как биссектриса АЕ делит сторону ВС на отрезки, пропорциональные длинам противолежащих сторон, т.е.

, то ,

, т.е. .

2. Составить уравнения линии, расстояние каждой точки которой, от точки А(2;-2) равно её расстоянию от прямой .

Решение:

Расстояние от любой точки линии до точки А(2;-2) по формуле ( ): .

Расстояние от точки до прямой по формуле (3.7): .

По условию: .

После возведения в квадрат и соответствующих преобразований получим уравнение:

.

Эта линия – парабола, симметричная относительно прямой, параллельной оси , с вершиной в точке .

3. Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(3; 2): а) под углом к оси ; б) параллельно оси ; в) и точку В(-2;-1). Найти угол между прямыми из условий а) и в).

Решение:

а) Угловой коэффициент прямой (1) .

Уравнение прямой (1), проходящей через точку А(3; 2) имеет вид: или .

б) Уравнение прямой (2), проходящей через точку А(3; 2) и параллельной оси имеет вид: .

в) Уравнение прямой (3), проходящей через точки А(3; 2) и В(-2; 1) имеет вид: или .

Угловой коэффициент прямой (1) , а прямой (3) - (так как уравнение (1) можно представить как , а уравнение (3) в виде ).

Тогда: , т.е. .

4. Найти центр и радиус окружности .

Решение:

Выделим полные квадраты в уравнении окружности:

,

т.е. получим каноническое уравнение окружности:

,

откуда известно, что центр окружности находится в точке , а радиус .

5. Найти полуоси, координаты фокусов и эксцентриситет эллипса .

Решение:

Разделив на 36, приведём уравнение к каноническому виду . Отсюда следует, что большая полуось эллипса , а малая полуось . При этом большая полуось эллипса и её фокусы расположены на оси . Расстояние от фокуса до начала координат , т.е. координаты фокусов и .

Эксцентриситет эллипса .

6. Найти координаты центра, вершин и уравнения асимптот гиперболы

Решение:

Приведём уравнение гиперболы к каноническому виду, разделив обе части уравнения на (-144): .

Гипербола имеет фокусы на оси , её действительная полуось , а мнимая полуось .

Асимптоты гиперболы по формуле (4.11): или . Вершины данной гиперболы , .

Расстояние от фокуса до начала координат , т.е. координаты фокусов и .

Эксцентриситет гиперболы .

7. Парабола с вершиной в начале координат проходит через точку и симметрична относительно оси . Найти фокус и уравнения параболы и её директрисы.

Решение:

Так как парабола проходит через точку и симметрична относительно оси , то её уравнение . Подставляя координаты точки в это уравнение, т.е. , найдём параметр . Следовательно, уравнение параболы . Уравнение её директрисы , фокус параболы .