- •Матрицы и операции над ними.
- •Определители.
- •Ранг матрицы
- •Системы линейных алгебраических уравнений.
- •Теорема Кронекера-Капелли
- •Формулы Крамера
- •Векторы, операции над ними.
- •Смешанное произведение векторов
- •Прямая на плоскости.
- •Кривые 2-го порядка.
- •Окружность.
- •Эллипс.
- •Гипербола.
- •Парабола
- •Уравнение плоскости.
- •Прямая в пространстве. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве.
- •Функция. Действительные числа. Предел функции. Односторонние пределы функции.
- •Основные теоремы о пределах.
- •Замечательные пределы. Сравнение бесконечно малых функций. Широко используются следующие два предела
- •Непрерывность функции. Классификация точек разрыва функции.
- •Производная. Правила и формулы дифференцирования.
- •Производные высших порядков. Дифференциалы первого и высших порядков и их приложения.
- •Основные теоремы дифференциального исчисления (Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши). Правило Лопиталя. Приложения производной и исследование функции.
- •Исследование поведения функции и построение их графиков.
- •Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства.
- •Интегрирование рациональных функций.
- •Интегрирование иррациональных и трансцендентных функций.
- •Определенный интеграл. Условия существования определенного интеграла. Свойства определенного интеграла.
- •Проведя в точках деления a,b прямые, параллельные оси ординат, разобьем криволинейную трапецию на n частичных трапеций. В каждом частичном интервале возьмем точки 1,2,…,т, так что
- •Оценка интеграла. Теорема о среднем. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменных и интегрирование по частям в определенном интеграле.
- •Приложения определенного интеграла.
- •Частные производные и дифференцируемость функций нескольких переменных.
- •Лекции 57-60. Дифференциальные уравнения. Дифференциальные уравнения I порядка.
- •Случайные события. Определение вероятности.
- •Вероятность достоверного события равна единице.
- •Теоремы сложения и умножения вероятностей. Формула полной вероятности. Формула Байеса.
- •Формула Бернулли. Предельные теоремы.
- •Случайные величины и их числовые характеристики.
- •Список рекомендуемой литературы Основная литература:
- •Дополнительная литература:
- •Планы проведения семинарских занятий.
- •Тема 1: Элементы линейной алгебры.
- •Тема 2: Элементы векторной алгебры.
- •Тема 3: Аналитическая геометрия
- •Тема 4: Функция. Предел функции.
- •Тема 5: Дифференциальное исчисление функции одной переменной.
- •Тема 6: Дифференциальное исчисление функции многих переменных
- •Тема 7: Интегральное исчисление.
- •Материалы для самостоятельной работы студента под руководством преподавателя (срсп)
- •Тема: «Предел функций».
- •Материалы по контролю и оценке учебных достижений студентов.
- •Тестовые задания для самоконтроля
- •Экзаменационные вопросы по курсу
Прямая на плоскости.
Важнейшим понятием аналитической геометрии является уравнение линии.
Определение. Уравнение F(x, y)=0 называется уравнением линии L (в заданной системе координат), если этому уравнению удовлетворяют координаты х и у любой точки, лежащей на линии L, и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на этой линии.
Любая прямая на плоскости задается уравнением первой степени относительно переменных х и у.
Прямую можно задать одним из следующих уравнений:
Уравнение прямой с угловым коэффициентом k (k – тангенс угла наклона прямой к положительному направлению оси Ox)
у=kх+b
Уравнение прямой с заданным угловым коэффициентом, проходящей через данную точку
Уравнение прямой, проходящей через две данные точки
Уравнение прямой в «отрезках»
здесь a и b –отрезки, которые отсекает прямая на осях Ох и Оу соответственно.
Нормальное уравнение прямой
здесь р – длина перпендикулярна, опущенного из начала координат на прямую, a -угол образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.
Уравнение прямой проходящей через точку , в данном направлении
Общее уравнение прямой
Ax=By+С=0.
Здесь A, B и C постоянные коэффициенты, причем Если какой-то коэффициент равен 0, то получаем неполные уравнения прямой.
А) Если А=0, тогда By+C=0 это уравнение определяет прямую, параллельную оси Ох.
б) Если В=0, то уравнение Ax+C=0 определяет прямую, параллельную оси Оу.
в) Если С=0, то уравнение Ax+By=0 задает прямую, проходящую через начало координат.
Г) Если А=С=0, то уравнение By=0 определяет прямую совпадающую с осью Ох.
Д) При В=С=0 прямая Ах=0 совпадает с осью Оу.
Прямые на плоскости могут пересекаться, быть параллельными или перпендикулярными.
Если прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом
y=k1x+b1 и y=k2x+b2
то острый угол между прямыми определяется по формулам
.
Если же прямые заданы общими уравнениями
А1х+В1у+С1=0 и А2х+В2у+С2=0
то угол между ними можно найти по формулам
Пусть прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом. Прямые параллельны, если tg a=0, тогда
k2=k1
условие параллельности двух прямых. Условие перпендикулярности определяет равенство
Если прямые заданы общими уравнениями, то условия параллельности и перпендикулярности примут вид:
,
А1А2+В1В2=0.
Лекции 17-20.
Кривые 2-го порядка.
К кривым 2-го порядка относятся окружность, эллипс, гипербола и парабола.
Окружность.
Определение 1. Окружность – это геометрическое место точек плоскости равноудаленных от данной точки (центра). Расстояние, на которое удалены точки окружности от центра, называется радиусом.
Каноническое уравнение окружности радиуса R с центром в точке O (a; b) имеет вид