Случайные события. Определение вероятности.

Случайным событием называется событие, которое при выполнении некоторого комплекса условий может произойти или не произойти. Будем рассматривать случайные события, которые обладают так называемой статистической устойчивостью или, иначе, устойчивостью частот.

Определение. Событие называется достоверным в данном испытании, если оно неизбежно происходит при этом испытании.

Определение. Событие называется невозможным в данном испытании, если оно заведомо не происходит в этом испытании.

Примем как аксиому, что для каждого события А можно определить, по крайней мере теоретически, вероятность этого события – число Р(А), представляющее, в некотором смысле «меру достоверности» данного события и подчиненное естественным требованиям. Предполагается, что вероятность любого события удовлетворяет неравенству

причем вероятность невозможного  события равна нулю, а вероятность достоверного события  равна единице.

Определение. Под суммой двух событий А и В понимается событие

которое имеет место тогда и только тогда, когда произошло хотя бы одно из событий А и В.

Определение. Произведением двух событий А и В называется событие

состоящее в одновременном появлении как события А, так и события В.

Определение. Под вероятностью Р(А) события А понимается отношение числа равновозможных элементарных исходов, благоприятствующих событию А, к общему числу всех равновозможных и единственно возможных элементарных исходов данного испытания.

Таким образом, если m – число элементарных исходов, благоприятных событию А и n – общее число всех элементарных исходов при данном испытании, и все эти исходы равновозможны, то на основании определения имеем формулу

.

Так как, очевидно, , то , т.е. вероятность любого события есть неотрицательное число, не превышающее единицы.

Из определения вероятности вытекают следующие основные ее свойства.

1. Вероятность невозможного события равна нулю.

Действительно, если событие А невозможно, то число благоприятных ему элементарных исходов m=0, и мы имеем

.

2. Вероятность достоверного события равна единице.

В самом деле, если событие А достоверно то, очевидно m=n и, следовательно,

.

Определение. Два события А и В называются равными, если каждое из них происходит всякий раз, когда происходит другое и обозначается A=В.

Теорема 1. Равные события имеют равные вероятности, т.е. если А=В, то

Р(А)=Р(В).

Определение. Говорят, что из события А следует событие В , если событие В появляется всякий раз, как только произошло событие А.

Теорема 2. Если , то .

Определение. Событие , происходящее тогда и только тогда, когда не происходит событие А, называется противоположным последнему.

Например, если при бросании монеты событие А есть выпадение герба, то событие представляет собой не выпадение герба, т.е. выпадение решетки.

Из определения 4 следует, что 1) А+ достоверно; 2) А невозможно.

Теорема 3. Вероятность противоположного события равна дополнению вероятности данного события А до 1, т.е.

.