Эллипс.

Определение 2. Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух фиксированных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (обозначают 2а), большая, чем расстояние между фокусами (2а>2с).

Каноническое уравнение эллипса имеет вид

где . Число c – половина расстояния между фокусами, числа a и b называют большой и малой полуосями эллипса.

В случае a=b эллипс представляет собой окружность радиуса a с центром в начале координат. Форма эллипса характеризуется эксцентриситетом

Расстояние от некоторой точки М эллипса до его фокусов называются фокальными радиусами этой точки. Они вычисляются по следующим формулам

,

здесь знак «+» берется для левого фокального радиус-вектора, а знак «-» – для правого фокального радиус вектора.

Гипербола.

Определение 3. Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, разность расстояний от которых до двух фиксированных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (обозначают 2а), меньшая, чем расстояние между фокусами (2а<2с).

Каноническое уравнение гиперболы имеет вид

где . Число c – половина расстояния между фокусами, числа a и b называют действительной и мнимой полуосями гиперболы. Форма гиперболы характеризуется эксцентриситетом

Расстояние от некоторой точки М эллипса до его фокусов называются фокальными радиусами этой точки. Они вычисляются по следующим формулам

,

здесь знак «+» берется для левого фокального радиус-вектора, а знак «-» – для правого фокального радиус вектора.

Если a=b, то уравнение

или

определяет равнобочную гиперболу.

Две гиперболы, определяемые уравнениями

называются сопряженными.

Парабола

Определение 4. Параболой называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой.

Если директрисой параболы является прямая , а фокусом – точка F(p/2;0), то уравнение параболы имеет вид

Эта парабола расположена симметрично относительно оси абсцисс. Длина фокального радиуса – вектора определяется по формуле

Уравнение

является уравнением параболы, симметричной относительно оси ординат.

Лекции 21-24.

Уравнение плоскости.

Пусть заданы прямоугольная система координат Oxyz, произвольная плоскость П, точка и вектор

Уравнение

(1)

определяет плоскость, проходящую через точку перпендикулярно вектору

В уравнении (1) раскроем скобки

.

Выражение, стоящее в скобках обозначаем через Д, тогда получим

(2)

Уравнение (2) называется общим уравнением плоскости. Вектор называется нормальным вектором плоскости.

Если в общем, уравнении плоскости коэффициент то, разделив все члены уравнения на – Д, уравнение плоскости можно привести к виду

(3)

здесь Это уравнением плоскости в «отрезках» в нем а, b и с соответствует абсциссе, ординате и аппликате точек пересечения плоскости с осями координат О_х, О_у, О_z.

При любом расположении (2) плоскостей П₁, П₂

(4)

в пространстве один из углов между ними равен углу между их нормальными векторами и вычисляется по формуле

(5)

Если два уравнения (4) определяют одну и ту же плоскость, то их коэффициенты пропорциональны

(6)

Если плоскости П₁ и П₂ параллельны, то коллениарны их нормальные векторы и наоборот. Но тогда

(7)

Условие (7) является условием параллельности плоскостей.

Если же плоскости П₁ и П₂ перпендикулярны, то перпендикулярны их нормальные векторы . Но тогда их скалярное произведение равно 0, т.е.

(8)

Равенство (8) определяет условие перпендикулярности плоскостей.

Лекции 25-28.