Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
2832_conspect.doc
Скачиваний:
0
Добавлен:
22.09.2019
Размер:
5.16 Mб
Скачать

Тема 1: Элементы линейной алгебры.

1. Найти матрицу , где

, .

Решение:

Найдём матрицу , транспонированную к , т.е. меняем строки и столбцы местами:

.

Найдём матрицу , умножив все элементы матрицы на 3. Произведём вычитание матриц и (поэлементно):

2. Найти произведение матриц и , если

,

Решение:

Произведение матриц не существует; поэтому найдём произведение . Выделим элементы матрицы

;

- это сумма произведений элементов 1-ой строки первой матрицы на элементы 1-го столбца второй матрицы :

;

аналогично

;

.

Точно также находятся элементы 2-ой строки матрицы :

;

;

.

Таким образом,

.

3. Вычислить определители матрицы :

а) ; б)

Решение:

а) По формуле (1.7) ;

б) по формуле (1.8) .

4. Вычислить тот же определитель, приведённый в задаче 3(б), используя его разложение по элементам: первой строки.

Решение:

Находим алгебраические дополнения элементов первой строки по формуле (1.9):

; ;

.

Теперь по теореме Лапласа (1.10):

5. Выяснить, является ли матрица

обратной к матрице .

Решение:

Найдём произведения и :

;

.

Матрицы и являются взаимно обратными.

6. Найти матрицу, обратную к данной:

.

Решение:

Находим определитель матрицы

.

Так как , то матрица - вырожденная и обратная матрица существует и единственна.

Транспонируем матрицу: .

Находим алгебраические дополнения всех элементов транспонированной матрицы и составляем из них присоединённую матрицу :

; ;

;

; ;

;

; ;

, т.е. .

Находим обратную матрицу по формуле (1.11):

.

Проверяем правильность вычисления обратной матрицы по формуле (1.6):

, где - единичная матрица 3-го порядка.

7. Решить систему уравнений методом Крамера:

.

Решение:

Определитель , следовательно, по методу Крамера система имеет единственное решение. Вычислим определители матриц , полученных из матрицы заменой соответственно первого, второго, и третьего столбцов столбцом свободных членов:

, , .

Теперь по формулам Крамера (1.15):

, , .

Ответ: (1;0;-2).

8. Методом обратной матрицы решить систему уравнений:

.

Решение:

Обозначим:

; ; .

Тогда в матричной форме система имеет вид: . Определитель матрицы , т.е. обратная матрица существует:

.

Теперь по формуле (1.14):

.

Ответ: (3;2;1).

Тема 2: Элементы векторной алгебры.

1. Даны четыре вектора: , ,

, . Необходимо: а) разложить вектор по векторам , , ; б) найти длину и направление вектора

Решение:

а) По условию , где , , - некоторые числа. Следовательно,

.

Приравнивая коэффициенты при единичных векторах (ортах) , получим систему:

,

откуда следует , т.е. .

б) Найдём вектор :

.

Его длина , а направляющие косинусы найдём по формулам (2.4):

.

2. Даны два единичных вектора и , угол между которыми . Найти: а) острый угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах и ; б) проекцию вектора на направление вектора .

Решение.

а) Искомый угол (рис 1.)определим по формуле (2.13):

.

Рис 1.

где ,

.

Найдём скалярное произведение векторов и и их длины:

;

;

.

Теперь и .

б) По формуле (2.8):

.

Найдём

;

.

Теперь .

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]