Тема 4: Функция. Предел функции.
1. Найти область определения функции
Решение: Так как выражение под корнем четной степени должно быть неотрицательно, знаменатель дроби отличен от нуля, а выражение, стоящее под знаком логарифма, должно быть положительно, то область определения функции найдем из системы неравенств:
или 
откуда
Значения
переменной х, которые удовлетворяют
всем неравенствам системы одновременно,
есть
.
2.
Найти область значений
функции
Решение:
Воспользуемся определением
обратной функции, в соответствии с
которым область ее определения будет
являться областью значений исходной
функции. Найдем функцию, обратную к
функции
,
выражая х через у:
.
Так как
то
.
Так как
то
,
откуда
,
т.е. найденный полуинтервал и является
областью значений искомой функции.
3. Выяснить четность (нечетность) функции
Решение: Найдем
.
Так как
,
то по определению искомая функция
является четной.
4. Найти
основной (наименьший) период функции
.
Решение. По
определению периодической функции
,
для любых х и
.
Для
имеем:
,
откуда
Полученное
равенство будет выполняться при любых
х, т.е. тождественно, если сомножитель,
не содержащий х, будет равен нулю,
т.е.
и наименьшее (не равное нулю)
.
5.
Найти
Решение.
.
Вынося за скобку и в числителе и в
знаменателе х в
наибольшей степени, получим
так
как
- величины бесконечно малые при
.
6.
Найти
Решение.
.
Чтобы выяснить, какова наибольшая
степень среди слагаемых дроби, следует
сначала вынести х с
наибольшим показателем степени в
выражениях под знаком радикала:
.
Наибольшая
степень вторая; вынося за скобку
,
получим
так
как
- бесконечно малые величины при
.
7.
Найти
.
Решение.
Имеем неопределенность
вида
.
Приведем дроби к общему знаменателю:
Имеем предел 2-го типа, необходимо разложить на множители числитель дроби. Получим
8.
Найти
.
Решение. Имеем неопределенность вида . Домножим и разделим функцию, стоящую под знаком предела на сопряженное выражение, приводящее к разности квадратов:
Имеем
предел 1-го типа. Решая далее найдем
При
по определению модуля; поэтому
так
как при
- бесконечно малые величины.
9.
Найти
.
Решение. Имеем
неопределенность вида
,
так как
.
Выделим целую часть дроби
является бесконечно малой величиной
при
.
Домножим показатель степени на
,
это действие не нарушает знака равенства:
ибо
.
Найдем
.
Имеем неопределенность вида
,
предел 1-го типа. Вынесем за скобки
,
так как вторая степень наибольшая:
,
так как
.
Таким образом, искомый предел равен
.
10.
Найти
.
Решение.
.
Первый
сомножитель представляет собой первый
замечательный предел и равен 1, второй
сомножитель представляет предел, равный
.
Таким образом, искомый предел равен 1.
11.
Найти
.
Решение.
.
Сделаем преобразования, приводящие ко
второму замечательному пределу:
.
Выражение
в квадратных скобках представляет
второй замечательный предел:
,
следовательно,
.
Найдем предел показателя степени:
Таким
образом,
.
12. Исследовать
на непрерывность функции
в точке
.
В случае разрыва установить его характер
в точке
:
а)
;
б)
.
Решение:
а) При
функция не определена, следовательно,
функция в точке
терпит разрыв:
т.е. конечный предел существует;
следовательно,
- точка устранимого разрыва первого
рода. (Доопределив функцию в точке
,
т.е. положив
получим, что новая функция
будет уже непрерывна в точке .)
б) При
функция не определена, следовательно,
функция в точке
терпит разрыв:
.
Так как односторонние пределы (достаточно было бы одного) бесконечны, то - точка разрыва функции второго рода.