Отношения порядка.
Определение 1. Отношение называется отношением нестрогого порядка, если оно является рефлексивным, антисимметричным и транзитивным.
Определение 2. Отношение называется отношением строгого порядка, если оно является антирефлексивным, антисимметричным и транзитивным.
Оба типа отношений вместе называются
отношениями порядка. Элементы
сравнимы по отношению порядка
,
если выполняется одно из двух отношений
или
.
Множество
,
на котором задано отношение порядка,
называется полностью упорядоченным,
если любые два его элемента сравнимы.
В противном случае, множество называется
частично упорядоченным.
Пример 3.
а) Отношения “ ” и “ ” являются отношениями нестрогого порядка, отношения “<” и “>” – отношениями строгого порядка (на всех основных числовых множествах). Оба отношения полностью упорядочивают множества и .
б) Определим
отношения “
”
и “<” на множестве
следующим образом:
1)
,
если
;
2)
,
если
и при этом ходя бы для одной
координаты выполняется
.
Тогда, например,
,
но
и
несравнимы. Таким образом, эти отношения
частично упорядочивают
.,
в) На системе
подмножеств множества
отношение включения “
”
задаёт нестрогий частичный порядок, а
отношение строгого включения “
”
задаёт строгий частичный порядок.
Например,
,
а
и
не сравнимы.
г) Отношение подчинённости в трудовом коллективе создаёт строгий частичный порядок. В нём, например, несравнимыми являются сотрудники различных структурных подразделений (отделов и т. п.).
д) В алфавите
русского языка порядок букв зафиксирован,
то есть всегда один и тот же. Тогда этот
список определяет полное упорядочение
букв, которое называется отношением
предшествования. Обозначается
(
предшествует
).
На основании отношения предшествования
букв построено отношение предшествования
слов, определяемое примерно, таким
образом, как производится сравнение
двух десятичных дробей. Это отношение
задаёт полное упорядочение слов в
русском алфавите, которое называется
лексикографическим упорядочением.
Пример 4.
а) Наиболее
известным примером лексикографического
упорядочения слов является упорядочение
слов в словарях. Например,
(так как
),
поэтому слово лес расположено в
словаре раньше слова лето.
б) Если
рассматривать числа в позиционных
системах счисления (например, в десятичной
системе) как слова в алфавите цифр, то
их лексикографическое упорядочение
совпадает с обычным, если все сравниваемые
числа имеют одинаковое количество
разрядов. В общем же случае эти два вида
могут не совпадать. Например,
и
,
но
,
а
.
Для того, чтобы они совпадали, нужно
уравнять число разрядов у всех сравниваемых
чисел, приписывая слева нули. В
данном примере при этом получим
.
Такое выравнивание происходит
автоматически при записи целых чисел
в ЭВМ.
в) Лексикографическое упорядочивание цифровых представлений дат вида 19.07.2004 (девятнадцатое июля две тысячи четвёртого года) не совпадает с естественным упорядочением дат от более ранних к более поздним. Например, дата 19.07.2004 “лексикографически” старше восемнадцатого числа любого года. Чтобы возрастание дат совпадало с лексикографическим упорядочением, обычное представление надо “перевернуть”, то есть записать в виде 2004.07.19. так обычно делают при представлении дат в памяти ЭВМ.