Примеры логических функций.
Логических функций одной переменной четыре; они приведены в таблице 2.
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
Таблица 2.
Здесь функции
и
- константы 0 и 1 соответственно, значения
которых не зависят от значения переменной,
и, следовательно, переменная
для них несущественна. Значения функции
совпадают
со значениями переменной
.
Наконец, функция
,
значения которой противоположны
значениям переменной, есть ни что иное,
как отрицание
(функция НЕ). Различные способы обозначения
этой функции:
.
Логических функций двух переменных – шестнадцать; они приведены в таблице 3.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
Таблица 3.
Функции и , как и в предыдущем случае являются константами, то есть функциями с двумя несущественными переменными. Отметим, что формально эти функции отличаются от функций и из предыдущего примера, поскольку являются бинарными операциями на множестве . Однако ранее было принято функции, отличающиеся только несущественными переменными, считать равными.
Среди представленных в таблице 3 функций отметим те, которые уже знакомы нам в качестве логических операций, изученных в ходе предыдущей лекции.
Функция
является конъюнкцией переменных
и
(функцией И). Она равна 1 тогда и только
тогда, когда обе переменные равны 1.
Обозначается:
,
.
Её также называют логическим умножением,
поскольку таблица её действительно
совпадает с таблицей обычного умножения
для чисел 0 и 1. Поэтому, кстати, по аналогии
с обычным умножением, знак операции
между переменными часто опускают:
.
Операцию
будем называть умножением по модулю 2
(см. ниже). Она реализует произведение
остатков от деления чисел 0 и 1 на число
2.
Функция
называется дизъюнкцией переменных
и
(функцией ИЛИ). Она равна 1, если значения
или
равны 1. Союз “или” понимается здесь в
неразделительном смысле “хотя бы один
из двух”. Обозначается:
.
Функция
называется неравнозначностью
переменных
и
.
Она равна 1, когда значения аргументов
различны, и равна 0, когда значения
аргументов одинаковы. Обозначается:
.
Привести пример такой функции более сложно. Для этого введём следующее понятие, широко используемое в теории чисел.
Два целых числа
и
называются
сравнимыми
по модулю
,
если при
делении на это число они дают одинаковые
остатки.
Обозначается:
.
Например,
,
.
Так вот, функцию
можно рассматривать, как сложение по
модулю 2. Действительно, сумма остатков
от деления чисел 0 и 1 на число 2 равна 1,
а сумма остатков от деления чисел 0 и 0,
либо 1 и 1 на 2 равна 0.
Функция
называется импликацией или логическим
следованием. Обозначается:
.
Функция
называется эквивалентностью или
равнозначностью. Она равна 1, если
значения переменных одинаковы и 0, если
они различны. Обозначается:
.
Есть ещё две функции двух переменных,
имеющие специальные названия. Функция
называется стрелкой Пирса и
обозначается
.
Функция
называется штрихом Шеффера и
обозначается
.
Остальные функции специальных названий
не имеют и, как можно показать, легко
выражаются через перечисленные выше
функции.
В функциях
и
переменная
фиктивна. Из таблицы 3 видно, что
,
а
.
Аналогично, в функциях
и
переменная
фиктивна:
,
а
.
Доказано, что с ростом числа переменных доля функций, имеющих фиктивные переменные, убывает и стремится к нулю.