- •Конспект лекций по дисциплине “Дискретная математика”
- •Санкт Петербург Содержание.
- •Раздел I. Множества, функции, отношения. Лекция № 1. Множества и операции над ними.
- •1. Основные понятия теории множеств.
- •2. Операции над множествами и их свойства.
- •3. Векторы и прямые произведения.
- •Лекция № 2. Соответствия и функции.
- •Соответствия.
- •Отображения и функции.
- •Лекция № 3. Отношения и их свойства.
- •Основные понятия и определения.
- •Свойства отношений.
- •Лекция № 4. Основные виды отношений.
- •Отношения эквивалентности.
- •Отношения порядка.
- •Лекция № 4. Пересчёт.
- •Раздел II. Введение в общую алгебру. Лекция № 6. Элементы общей алгебры.
- •1. Свойства бинарных алгебраических операций.
- •2. Алгебраические структуры.
- •Гомоморфизм и изоморфизм.
- •Лекция № 7. Различные виды алгебраических структур.
- •Полугруппы.
- •Группы.
- •Поля и кольца.
- •Раздел III. Введение в логику. Лекция № 8. Элементы математической логики.
- •Булевы функции.
- •Лекция № 9. Логические функции.
- •Функции алгебры логики.
- •Примеры логических функций.
- •Суперпозиции и формулы.
- •Лекция № 10. Булевы алгебры.
- •Разложение функций по переменным. Совершенная дизъюнктивная нормальная форма.
- •Булева алгебра функций.
- •Эквивалентные преобразования.
- •Лекция № 11. Булевы алгебры и теория множеств.
- •Двойственность.
- •Булева алгебра и теория множеств.
- •Днф, интервалы и покрытия.
- •Лекция № 12. Полнота и замкнутость.
- •Функционально полные системы.
- •Алгебра Жегалкина и линейные функции.
- •Замкнутые классы. Монотонные функции.
- •Теоремы о функциональной полноте.
- •Лекция № 13. Язык логики предикатов.
- •Предикаты.
- •Кванторы.
- •Истинные формулы и эквивалентные соотношения.
- •Доказательства в логике предикатов.
- •Лекция № 14. Комбинаторика.
- •Правила суммы и произведения.
- •Размещения.
- •Перестановки.
- •Сочетания. Бином Ньютона.
- •Раздел IV. Теория графов. Лекция № 15. Графы: основные понятия и операции.
- •Графы, их вершины, рёбра и дуги. Изображение графов.
- •Матрица инцидентности и список рёбер. Матрица смежности графа.
- •Идентификация графов, заданных своими представлениями.
- •Лекция № 16. Маршруты, цепи и циклы.
- •Основные определения.
- •Связные компоненты графов.
- •Расстояния. Диаметр, радиус и центр графа. Протяжённости.
- •Эйлеровы графы.
- •Лекция № 17. Некоторые классы графов и их частей.
- •Деревья.
- •Ориентированные графы.
- •Графы с помеченными вершинами и рёбрами.
- •Лекция № 18. Теория алгоритмов Понятие алгоритма
- •1.2.1. Основные требования к алгоритмам
- •1.2.2. Машина Тьюринга
- •Универсальная машина Тьюринга
- •1.2.3. Тезис Тьюринга
- •1.3. Граф машина
- •1.3.1. Модель данных
- •1.3.2. Построение моделей алгоритмов в системе graph
- •2. Сложность алгоритмов
- •2.1.Временная и пространственная сложность алгоритма. Классы dtime и dspace
- •2.2. Классы сложности
- •2.2.1. Полиномиальность и эффективность
- •2.2.2. Алгоритмическая сводимость задач
- •3. Алгоритмы и их сложность
- •3.1. Представление абстрактных объектов (последовательностей)
- •3.1.1. Смежное представление последовательностей
- •3.1.2. Связанное представление последовательностей
- •Список вопросов для подготовки к экзамену по дисциплине "дискретная математика"
Размещения.
Определение. Любой вектор длины , составленный из элементов элементного множества , в котором все элементы различны, называется размещением без повторений по элементов из . Число всех размещений без повторений по элементов из обозначается и равно .
Пример 2. Куплено различных 12 книг. На полке можно поставить в ряд ровно 6 книг. Сколькими различными способами можно это сделать?
Будем считать различными не только те случаи, когда берутся разные книги, но и когда они по-разному расставлены на полке (в различном порядке). Тогда речь идёт о перестановках по 6 из 12. Получаем: .
Рассмотрим существенно другой случай, а именно когда элементы множества в векторах могут повторяться.
Определение. Любой вектор длины , составленный из элементов элементного множества , состоящего из элементов, в котором все элементы различны, называется размещением с повторениями по элементов из . Число всех размещений с повторениями по элементов из обозначается и равно .
Пример 3. Сколько различных комбинаций может получиться при одновременном бросании трёх игральных костей?
Каждая игральная кость представляет собой кубик, на гранях которого нанесено от одного до 6 очков. При каждом бросании мы будем получать наборы вида , где - количество очков, выпавших на соответствующей кости. Речь идёт о перестановках с повторениями по 3 элемента из 6. Получаем: .
Замечание. Очевидно, что размещения без повторений являются частным случаем размещений с повторениями.
Перестановки.
Определение. Любой вектор длины , составленный из элементов элементного множества , в котором все элементы различны, называется перестановкой без повторений из элементов. Число всех перестановок без повторений из элементов обозначается и равно .
Из определения и формулы видно, что перестановки без повторений есть частный случай размещений без повторений, при условии .
Пример 4. Сколькими различными способами можно расставить на полке 10 различных книг?
Здесь, в отличие от примера 2, значение имеет только порядок расставляемых книг. Поэтому речь идёт о перестановках из 10 элементов. Получаем: .
Рассмотрим случай, когда элементы множества повторяются по нескольку раз. Для определённости пусть 1-й элемент повторяется раз, 2-й элемент - раз и так далее. Тогда векторы длины , образованные из элементов данного множества называются перестановками из элементов с повторениями. Число таких перестановок обозначается и равно .
Положив в последней формуле , получим формулу для перестановок без повторений.
Пример 5. Сколько различных шестизначных чисел могут быть записано с помощью цифр 1, 2, 2, 2, 3, 3?
Имеется набор из шести цифр, в котором цифра 2 повторяется трижды и цифра 3 – дважды. Полученные числа будут представлять собой перестановки с повторениями из 6 элементов. Получаем: .
Сочетания. Бином Ньютона.
Прежде всего, отметим одно существенное отличие перестановок от размещений. Если в размещениях векторы различаются и по составу элементов, и по их расположению (порядку) в наборе, то в перестановках векторы различаются только по расположению элементов. Естественно рассмотреть случай, когда векторы, наоборот, будут различаться только по составу элементов.
Определение. Любые различные векторы длины , составленные из элементов элементного множества , различающиеся между собой по набору элементов, но не по их расположению в наборе, называются сочетаниями по элементов из .
Если все элементы, образующие сочетания, различны, то их называют сочетанием без повторений. Обозначение всех сочетаний без повторений . Формула для вычисления . Если некоторые (или все) элементы, образующие сочетания, могут повторяться, то их называют сочетаниями повторениями. Обозначение всех сочетаний без повторений . Формула для вычисления . Запоминать последнюю формулу нет необходимости.
Замечание 1. Сочетания являются частным случаем размещений. Разница между сочетаниями и размещениями из определения неочевидна, но на конкретных примерах её легко видеть. Так, например, векторы и являются различными размещениями, но обозначают одно и то же сочетание.
Замечание 2. Для сочетаний без повторений обязательно требование , причём в случае равенства получим естественный результат . Но для сочетаний с повторениями это требование необязательно, как будет видно из приведённого ниже примера.
Пример 6.
а) В отделе работают 10 сотрудников. Требуется отобрать трёх из них для того, чтобы направить в командировку. Сколькими способами можно это сделать?
Поскольку имеет значение только то, какие именно сотрудники отобраны, то речь идёт о сочетаниях без повторений по 3 элемента из 10. Получаем:
б) В цветочном магазине имеются в продаже 5 различных видов цветов. Покупателю требуется составить букет из 7 цветов. Сколькими способами можно это сделать?
Будем считать различными те букеты, которые отличаются друг от друга по подбору цветов. Поскольку цветы в букете могут повторяться, то речь идёт о сочетаниях с повторениями по 7 элементов из 5. Тогда получим .
Одним из наиболее известных примеров использования комбинаторных формул является так называемый бином Ньютона. В общем виде формула бинома (двучлена) Ньютона выглядит так:
.
С частными случаями применения этой формулы ( для случаев и ) сталкиваются ещё в школе при изучении формул сокращённого умножения:
.
На практике для удобства применении бинома Ньютона применяют так называемый треугольник Паскаля, который содержит числовые коэффициенты полинома в правой части формулы:
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
…………………..