Лекция № 3. Отношения и их свойства.

1. Основные понятия и определения.

Определение. Подмножество называется местным ( мерным) отношением на множестве А. Говорят, что элементы находятся в отношении , если .

Одноместное (одномерное) отношение – это просто некоторое подмножество А. Такие отношения называют признаками. Говорят, что обладает признаком , если и . Свойства одноместных отношений – это свойства подмножеств А, поэтому для случая термин “отношения” употребляется редко.

Наиболее часто встречающимися и хорошо изученными являются двухместные или бинарные отношения. Если и находятся в отношении , это обычно записывается в виде .

Пример 1. Бинарные отношения на множестве .

а) Отношение “ ” выполняется для пар и не выполняется для пары .

б) Отношение “иметь общий делитель, не равный единице” выполняется для пар и не выполняется для пар .

в) Отношение “быть делителем” выполняется для пар и не выполняется для пар .

Пример 2. Бинарные отношения на множестве точек координатной плоскости.

а) Отношение “быть равноудалёнными от начала координат” выполнятся для пар точек и , но не выполнятся для пары точек и .

б) Отношение “принадлежать окружности, центр которой находится в начале координат”, выполняется для первой пары точек из предыдущего примера и не выполняется для второй пары.

в) Отношение “быть удалёнными на разное расстояние от начала координат” выполняется для всех точек, для которых не выполняется отношение, описанное в пункте “б”.

Пусть дано отношение на множестве А. Для любого подмножества определяется отношение , называемое сужением на , которое получается из отношения удалением всех пар, содержащих элементы, не принадлежащие . Иначе говоря, .

Строго говоря, само отношение и его сужение - это разные отношения, с разными областями определения. Однако, по умолчанию, если не возникает явных разночтений, эта разница не учитывается. Например, вполне можно говорить об отношении “быть делителем”, не уточняя, задано оно на множестве или на каком-нибудь его подмножестве.

Для задания бинарных отношений можно использовать любые способы задания множеств (например, список пар, для которых данное отношение выполняется). Отношения на конечных множествах обычно задаются списком или матрицей. Матрица бинарного отношения на конечном множестве - это квадратная матрица порядка , в которой каждый элемент определяется следующим образом:

Пример 3. Для конечного множества матрицы отношений из примера 1 (а – в) приведены в следующих таблицах.

а)

	1	2	3	4	5	6
1	1	1	1	1	1	1
2	0	1	1	1	1	1
3	0	0	1	1	1	1
4	0	0	0	1	1	1
5	0	0	0	0	1	1
6	0	0	0	0	0	1

б)

	1	2	3	4	5	6
1	0	0	0	0	0	0
2	0	1	0	1	0	1
3	0	0	1	0	0	1
4	0	1	0	1	0	1
5	0	0	0	0	1	0
6	0	1	1	1	0	1

в)

	1	2	3	4	5	6
1	1	1	1	1	1	1
2	0	1	0	1	0	1
3	0	0	1	0	0	1
4	0	0	0	1	0	0
5	0	0	0	0	1	0
6	0	0	0	0	0	1

Поскольку отношения на множестве А задаются подмножествами А², для отношений можно определить те же операции, что и для множеств. Например, отношение “ ” является объединением отношений “<” и “=”.

Определение. Отношение называется обратным к отношению , если тогда и только тогда, когда .

Непосредственно из определения следует, что . Например, для отношения “ ” обратным является отношение “ ”.