4. Доказательства в логике предикатов.

Метод доказательства формул, содержащих переменные, путём непосредственной подстановки в них констант называется методом интерпретаций или методом моделей. Подстановка констант позволяет интерпретировать формулу как осмысленное утверждение об элементах конкретного множества. Поэтому такой метод, выясняющий истинность формулы путём обращения к её возможному смыслу называется семантическим (смысловым). Метод интерпретаций удобен для доказательства выполнимости формул или их неэквивалентности, поскольку и в том, и в другом случае достаточно найти одну подходящую подстановку. Он удобен также для исследования истинности формул на конечных областях. Дело в том, что если область конечна, то кванторы переходят в конечные формулы логики высказываний:

, .

Заменяя все кванторы по этим соотношениям, любую формулу логики предикатов можно перевести в формулу, состоящую из предикатов, соединённых логическими операциями. Истинность такой формулы на конечной области проверятся конечным числом подстановок и вычислений. Методы рассуждений, использующие только конечные множества конечных объектов, называются финитными.

Для бесконечных же областей, в общем случае, при доказательстве тождественной истинности формул метод интерпретации связан с большими трудностями. Поэтому для построения множества истинных формул в логике предикатов выбирается иной путь. Это множество порождается из неких исходных формул (аксиом) с помощью формальных процедур - правил вывода. Используются лишь формальные (а не содержательные), внешние свойства последовательности символов, образующих формулы, причём эти свойства полностью описываются правилами вывода. Множества, порождённые таким формальным методом, называются формальными.

Лекция № 14. Комбинаторика.

В этой лекции даются основные начальные сведения из комбинаторики. Это служебный раздел математики, занимающийся исследованием различных комбинаций элементов всевозможных множеств. Формулы комбинаторики широко используются теории вероятностей, в теории вычислительных машин, в некоторых разделах экономике, в статистике и других прикладных дисциплинах.

1. Правила суммы и произведения.

Будем в дальнейшем оперировать только с множествами, содержащими конечное число элементов. На бесконечные множества все нижеприведённые правила и формулы не распространяются.

Теорема 13.1. Пусть даны непересекающиеся конечные множества . Тогда мощность объединения этих множеств равна сумме мощностей данных множеств:

.

Доказательство этой теоремы очевидно. Но для нас представляет интерес другая интерпретация этой теоремы, которую мы сформулируем для двух множеств.

Если некоторый элемент можно выбрать способами, а элемент - способами, причём любой способ выбора элемента отличается от любого способа выбора элемента , то выбор “ или ” можно сделать способами. Это правило называется правилом суммы.

Пусть даны непересекающиеся конечные множества . Обозначим число элементов в этих множествах (их мощности) . Рассмотрим декартово произведение этих множеств . Напомним, что элементами этого произведения будут векторы (кортежи) длины вида .

Теорема 13.2. Число элементов в декартовом произведении множеств равно произведению мощностей этих множеств:

.

Как и в предыдущем случае, сформулируем данную теорему упрощённым образом для двух множеств. Если элемент можно выбрать способами, а элемент - способами, причём любой способ выбора элемента отличается от любого способа выбора элемента , то выбор “ и ” (то есть, пары ) можно сделать способами. Это правило называется правилом произведения, или умножения.

Оба сформулированных правила верны для любого конечного числа конечных множеств, и, в соответствующей форме, называются обобщёнными.

Пример 1.

а) В некоторой средней школе имеется три пятых класса, в которых обучаются соответственно 28, 31 и 26 учащихся. Требуется одного из них выбрать для участия в совете школы. Сколькими способами можно сделать выбор?

По правилу суммы получаем .

б) В секции фигурного катания занимаются 14 мальчиков и 18 девочек. Сколькими различными способами из детей, занимающихся в секции, можно образовать спортивные пары.

По правилу произведения получаем .