Раздел II. Введение в общую алгебру. Лекция № 6. Элементы общей алгебры.
1. Свойства бинарных алгебраических операций.
Определение. На множестве А определена алгебраическая операция, если каждым двум элементам этого множества, взятым в определенном порядке, однозначным образом поставлен в соответствие некоторый третий элемент из этого же множества.
Примерами алгебраических операций могут служить такие операции как сложение и вычитание целых чисел, сложение и вычитание векторов, матриц, умножение квадратных матриц, векторное умножение векторов и др.
Отметим, что скалярное произведение векторов не может считаться алгебраической операцией, т.к. результатом скалярного произведения будет число, и числа не относятся к множеству векторов, к которому относятся сомножители.
Замечание. Вообще говоря, операция, определённая таким образом, называется бинарной, поскольку в ней участвуют два элемента. Но также можно говорить об унарных операциях, в которых участвует только один элемент данного множества, и в соответствие ему однозначным образом поставлен второй элемент этого множества. Таковы, например, операции извлечения корня квадратного или нахождения модуля числа.
Аналогично
можно определить тринарную и прочие
операции на данном множестве, в зависимости
от количества участвующих в них элементов.
В общем случае,
операцией на множестве
будем называть функцию типа
.
Определение.
Операция
,
отображающая любой элемент множества
в себя, называется тождественной
операцией.
Тождественной операцией на множестве , например, является умножение на единицу.
Для того чтобы описанные ниже соотношения
выглядели бы более привычно, положим
результат применения бинарной операции
элементам
записывать не в функциональном виде
,
а виде
,
принятом для записи арифметических
операций.
Определение.
Операция
называется коммутативной, если для
любых элементов
выполняется:
.
Операции сложения и умножения чисел коммутативны, а вычитание и деление некоммутативны. Также некоммутативна операция умножения матриц (как известно из курса линейной алгебры).
Определение.
Операция
называется ассоциативной, если для
любых элементов
выполняется:
.
Выполнение
условия ассоциативности означает, что
скобки в выражении
можно не расставлять. Сложение и умножение
чисел ассоциативны, что и позволяет не
ставить скобки в выражениях типа
и
.
В качестве примера неассоциативной
операции можно привести возведение в
степень:
.
Правда, запись
является допустимой, но служит сокращением
записи выражения
,
а не
(сокращённая
запись которого -
).
Важным примером ассоциативной операции
является композиция отображений.
Определение.
Операция
называется дистрибутивной слева
относительно операции
,
если для любых
выполняется:
,
и дистрибутивной справа относительно операции , если для любых выполняется:
.
Наличие свойства дистрибутивности позволяет раскрывать скобки. Например, умножение дистрибутивно относительно сложения (и вычитания) и справа, и слева:
.
Возведение
в степень дистрибутивно относительно
умножения справа:
,
но не слева:
.
Сложение (и вычитание) чисел недистрибутивно
относительно умножения:
.
Ниже будет показано, что операции
пересечения и объединения множеств
дистрибутивны относительно друг друга
и слева, и справа.