- •Конспект лекций по дисциплине “Дискретная математика”
- •Санкт Петербург Содержание.
- •Раздел I. Множества, функции, отношения. Лекция № 1. Множества и операции над ними.
- •1. Основные понятия теории множеств.
- •2. Операции над множествами и их свойства.
- •3. Векторы и прямые произведения.
- •Лекция № 2. Соответствия и функции.
- •Соответствия.
- •Отображения и функции.
- •Лекция № 3. Отношения и их свойства.
- •Основные понятия и определения.
- •Свойства отношений.
- •Лекция № 4. Основные виды отношений.
- •Отношения эквивалентности.
- •Отношения порядка.
- •Лекция № 4. Пересчёт.
- •Раздел II. Введение в общую алгебру. Лекция № 6. Элементы общей алгебры.
- •1. Свойства бинарных алгебраических операций.
- •2. Алгебраические структуры.
- •Гомоморфизм и изоморфизм.
- •Лекция № 7. Различные виды алгебраических структур.
- •Полугруппы.
- •Группы.
- •Поля и кольца.
- •Раздел III. Введение в логику. Лекция № 8. Элементы математической логики.
- •Булевы функции.
- •Лекция № 9. Логические функции.
- •Функции алгебры логики.
- •Примеры логических функций.
- •Суперпозиции и формулы.
- •Лекция № 10. Булевы алгебры.
- •Разложение функций по переменным. Совершенная дизъюнктивная нормальная форма.
- •Булева алгебра функций.
- •Эквивалентные преобразования.
- •Лекция № 11. Булевы алгебры и теория множеств.
- •Двойственность.
- •Булева алгебра и теория множеств.
- •Днф, интервалы и покрытия.
- •Лекция № 12. Полнота и замкнутость.
- •Функционально полные системы.
- •Алгебра Жегалкина и линейные функции.
- •Замкнутые классы. Монотонные функции.
- •Теоремы о функциональной полноте.
- •Лекция № 13. Язык логики предикатов.
- •Предикаты.
- •Кванторы.
- •Истинные формулы и эквивалентные соотношения.
- •Доказательства в логике предикатов.
- •Лекция № 14. Комбинаторика.
- •Правила суммы и произведения.
- •Размещения.
- •Перестановки.
- •Сочетания. Бином Ньютона.
- •Раздел IV. Теория графов. Лекция № 15. Графы: основные понятия и операции.
- •Графы, их вершины, рёбра и дуги. Изображение графов.
- •Матрица инцидентности и список рёбер. Матрица смежности графа.
- •Идентификация графов, заданных своими представлениями.
- •Лекция № 16. Маршруты, цепи и циклы.
- •Основные определения.
- •Связные компоненты графов.
- •Расстояния. Диаметр, радиус и центр графа. Протяжённости.
- •Эйлеровы графы.
- •Лекция № 17. Некоторые классы графов и их частей.
- •Деревья.
- •Ориентированные графы.
- •Графы с помеченными вершинами и рёбрами.
- •Лекция № 18. Теория алгоритмов Понятие алгоритма
- •1.2.1. Основные требования к алгоритмам
- •1.2.2. Машина Тьюринга
- •Универсальная машина Тьюринга
- •1.2.3. Тезис Тьюринга
- •1.3. Граф машина
- •1.3.1. Модель данных
- •1.3.2. Построение моделей алгоритмов в системе graph
- •2. Сложность алгоритмов
- •2.1.Временная и пространственная сложность алгоритма. Классы dtime и dspace
- •2.2. Классы сложности
- •2.2.1. Полиномиальность и эффективность
- •2.2.2. Алгоритмическая сводимость задач
- •3. Алгоритмы и их сложность
- •3.1. Представление абстрактных объектов (последовательностей)
- •3.1.1. Смежное представление последовательностей
- •3.1.2. Связанное представление последовательностей
- •Список вопросов для подготовки к экзамену по дисциплине "дискретная математика"
Истинные формулы и эквивалентные соотношения.
При логической (истинностной) интерпретации формул логики возможны три основные ситуации.
Если в области для формулы существует такая подстановка констант вместо всех переменных, что становится истинным высказыванием, то эта формула называется выполнимой в области . Если существует область , в которой формула выполнима, то формула называется просто выполнимой. Пример выполнимой формулы - .
Если формула выполнима в области при любых подстановках констант, то она называется тождественно истинной в области . Формула, тождественно истинная в любых множествах называется просто тождественно истинной, или общезначимой, или тавтологией. Например, формула тождественна для всех множеств, состоящих из одного элемента, а формула является тавтологией.
Если формула невыполнима в области при любых подстановках констант, то она называется тождественно ложной в области . Формула, тождественно ложная в любых множествах называется просто тождественно ложной или противоречивой. Формула является противоречивой.
Определение. Формулы называются эквивалентными, если при любых подстановках одинаковых констант они принимают одинаковые значения. В частности, все тождественно истинные (и все тождественно ложные) формулы являются эквивалентными.
Отметим, что если формулы и эквивалентны в соответствии с этим определением, то формула является тождественно истинной.
Замечание. Исследование формул логики предикатов имеет огромное значение потому, что эти формулы входят практически в любую формальную теорию. В связи с этим возникают две проблемы: получение истинных формул и проверка имеющихся формул на истинность. Поскольку предикатные переменные имеют, в общем случае, бесконечное множество значений, то установить истинность формул простым перебором значений на всех наборах переменных, как это иногда делалось для логических функций, просто невозможно. В связи с этим, приходится использовать различные косвенные приёмы.
Пример 3. Рассмотрим соотношение . Пусть для некоторого предиката и области левая часть истинна. Тогда не существует такого , для которого истинно. Следовательно, для любых значений ложно, то есть и правая часть истинна. Если же левая часть ложна, то всегда существует , для которого истинно и, следовательно, правая часть ложна.
Аналогично доказывается истинность соотношения
Большое значение имеют следующие свойства, которые могут быть доказаны способом, рассмотренным в примере 3.
Дистрибутивность квантора относительно конъюнкции:
.
Дистрибутивность квантора относительно дизъюнкции:
.
Если же кванторы и поменять местами, то получатся соотношения, верные только в одну сторону:
3) ,
4) .
В таких случаях говорят, что левая часть является более сильным утверждением, чем правая, поскольку она требует для своего выполнения более жёстких условий. Так, например, в соотношении 3 в левой части требуется, чтобы оба предиката были истинны для одного и того же значения , тогда как в правой части они могут быть истинны при различных значениях переменной. Пример случая, когда соотношения 3 и 4 в обратную сторону неверны: “ чётное число”, “ нечётное число”.
Пусть некоторое переменное выражение, не содержащее переменной . Тогда выполняются соотношения:
5) .
6) .
7) .
8) .
Эти соотношения означают, что формулу, не содержащую переменной , можно выносить за область действия квантора, связывающего эту переменную.