- •Конспект лекций по дисциплине “Дискретная математика”
- •Санкт Петербург Содержание.
- •Раздел I. Множества, функции, отношения. Лекция № 1. Множества и операции над ними.
- •1. Основные понятия теории множеств.
- •2. Операции над множествами и их свойства.
- •3. Векторы и прямые произведения.
- •Лекция № 2. Соответствия и функции.
- •Соответствия.
- •Отображения и функции.
- •Лекция № 3. Отношения и их свойства.
- •Основные понятия и определения.
- •Свойства отношений.
- •Лекция № 4. Основные виды отношений.
- •Отношения эквивалентности.
- •Отношения порядка.
- •Лекция № 4. Пересчёт.
- •Раздел II. Введение в общую алгебру. Лекция № 6. Элементы общей алгебры.
- •1. Свойства бинарных алгебраических операций.
- •2. Алгебраические структуры.
- •Гомоморфизм и изоморфизм.
- •Лекция № 7. Различные виды алгебраических структур.
- •Полугруппы.
- •Группы.
- •Поля и кольца.
- •Раздел III. Введение в логику. Лекция № 8. Элементы математической логики.
- •Булевы функции.
- •Лекция № 9. Логические функции.
- •Функции алгебры логики.
- •Примеры логических функций.
- •Суперпозиции и формулы.
- •Лекция № 10. Булевы алгебры.
- •Разложение функций по переменным. Совершенная дизъюнктивная нормальная форма.
- •Булева алгебра функций.
- •Эквивалентные преобразования.
- •Лекция № 11. Булевы алгебры и теория множеств.
- •Двойственность.
- •Булева алгебра и теория множеств.
- •Днф, интервалы и покрытия.
- •Лекция № 12. Полнота и замкнутость.
- •Функционально полные системы.
- •Алгебра Жегалкина и линейные функции.
- •Замкнутые классы. Монотонные функции.
- •Теоремы о функциональной полноте.
- •Лекция № 13. Язык логики предикатов.
- •Предикаты.
- •Кванторы.
- •Истинные формулы и эквивалентные соотношения.
- •Доказательства в логике предикатов.
- •Лекция № 14. Комбинаторика.
- •Правила суммы и произведения.
- •Размещения.
- •Перестановки.
- •Сочетания. Бином Ньютона.
- •Раздел IV. Теория графов. Лекция № 15. Графы: основные понятия и операции.
- •Графы, их вершины, рёбра и дуги. Изображение графов.
- •Матрица инцидентности и список рёбер. Матрица смежности графа.
- •Идентификация графов, заданных своими представлениями.
- •Лекция № 16. Маршруты, цепи и циклы.
- •Основные определения.
- •Связные компоненты графов.
- •Расстояния. Диаметр, радиус и центр графа. Протяжённости.
- •Эйлеровы графы.
- •Лекция № 17. Некоторые классы графов и их частей.
- •Деревья.
- •Ориентированные графы.
- •Графы с помеченными вершинами и рёбрами.
- •Лекция № 18. Теория алгоритмов Понятие алгоритма
- •1.2.1. Основные требования к алгоритмам
- •1.2.2. Машина Тьюринга
- •Универсальная машина Тьюринга
- •1.2.3. Тезис Тьюринга
- •1.3. Граф машина
- •1.3.1. Модель данных
- •1.3.2. Построение моделей алгоритмов в системе graph
- •2. Сложность алгоритмов
- •2.1.Временная и пространственная сложность алгоритма. Классы dtime и dspace
- •2.2. Классы сложности
- •2.2.1. Полиномиальность и эффективность
- •2.2.2. Алгоритмическая сводимость задач
- •3. Алгоритмы и их сложность
- •3.1. Представление абстрактных объектов (последовательностей)
- •3.1.1. Смежное представление последовательностей
- •3.1.2. Связанное представление последовательностей
- •Список вопросов для подготовки к экзамену по дисциплине "дискретная математика"
Лекция № 13. Язык логики предикатов.
Предикаты.
Определение. Предикатом называется функция , где произвольное множество, а определённое ранее двоичное множество .
Иначе говоря, местным предикатом, определённым на множестве называется двузначная функция от аргументов из произвольного множества . Множество называется предметной областью предиката, переменные - предметными переменными. В принципе, можно определить предикат как функцию , то есть допустить, что переменные принимают значения из различных множеств – в некоторых случаях это оказывается удобным.
Для любых и существует взаимно однозначное соответствие между местными отношениями и местными предикатами на множестве , определяемое следующим образом. Каждому местному отношению соответствует предикат такой, что тогда и только тогда, когда ; всякий предикат определяет отношение такое, что тогда и только тогда, когда . При этом задаёт область истинности предиката.
Всякой функции можно поставить в соответствие местный предикат такой, что тогда и только тогда, когда . Поскольку функция должна быть однозначной, то это соответствие требует, чтобы для любого выполнялось . Поэтому обратное соответствие (от предиката к функции) возможно только при выполнении указанного условия.
В дальнейшем, в случаях, не вызывающих разночтения, будем употреблять одинаковые обозначения для предикатов и соответствующих им отношений. При этом, помимо функциональных обозначений вида , для двухместных предикатов будем пользоваться обозначениями вида , которые употреблялись ранее для бинарных отношений.
Пример 1.
а) Предикат является двухместным предикатом, предметной областью которого могут служить любые множества действительных чисел. Высказывание истинно, а высказывание ложно. Если вместо одной из переменных подставить число, то получится одноместный предикат: и так далее.
б) Великая теорема Ферма (до сих пор не доказанная) утверждает, что для любого натурального числа не существует натуральных чисел , которые удовлетворяли бы равенству . Этому равенству можно поставить в соответствие предикат , истинный тогда и только тогда, когда оно выполняется.
в) В описаниях вычислительных процедур и, в частности, в языках программирования, часто встречаются указания типа “повторять цикл до тех пор, пока переменные и не станут равными или прекратить вычисление цикла после ста повторений”. Если обозначить через счётчик повторений, то описанное здесь условие примет вид , а само указание в целом описывается выражением: “повторять, если ”.
Кванторы.
Пусть предикат, определённый на множестве . Высказывание “для всех истинно” обозначается или . Здесь множество входит в обозначение, но когда оно ясно из контекста пишут просто . Знак называется квантором общности.
Высказывание “существует такое значение , что истинно” обозначается или . Знак называется квантором существования. Переход от предиката к выражениям вида или называется связыванием переменной , а также навешиванием квантора на переменную (или на предикат ). Переменная, на которую навешен квантор, называется связанной, несвязанная переменная называется свободной.
Смысл связанных и свободных переменных в предикатах принципиально различен. Свободная переменная – это обычная переменная, которая может принимать различные значения из множества ; выражение - переменное высказывание, зависящее от значения . Выражение не зависит от переменной и имеет вполне определённое значение. Это, в частности, означает, что переименование связанной переменной, то есть переход от выражения к выражению и наоборот не меняет истинности выражения. Переменные, являющиеся, по существу, связанными, встречаются не только в логике. Например, в выражениях или переменная связана: при фиксированной функции первое выражение равно определенному числу, а второе становится функцией от пределов интегрирования.
Навешивать кванторы можно и на многоместные предикаты и вообще на любые логические выражения, которые при этом заключаются в скобки. Выражение, на которое навешивается квантор или называется областью действия квантора. Все вхождения переменной в это выражение являются связанными. Навешивание квантора на многоместный предикат уменьшает в нём количество свободных переменных и превращает его в предикат от меньшего числа переменных.
Пример 2.
а) Пусть предикат “ чётное число”. Тогда высказывание истинно на любом множестве чётных чисел и ложно, если множество содержит хотя бы одно нечётное число. Высказывание истинно на любом множестве, содержащем хотя бы одно чётное число и ложно на любом множестве нечётных чисел.
б) Рассмотрим двухместный предикат на множествах с отношением нестрогого порядка. Предикат есть одноместный предикат от переменной . Если множество неотрицательных чисел, то этот предикат истинен в единственной точке . Предикат (можно записать ) высказывание истинное на множестве, состоящем из одного элемента и ложное на всяком другом множестве. Высказывание утверждает, что в множестве имеется максимальный элемент (для любого существует такой , что ). Оно истинно на любом конечном множестве целых чисел. Высказывание утверждает, что для любого элемента имеется элемент , не меньший его. Оно истинно на любом непустом множестве ввиду рефлексивности отношения . Последние два высказывания говорят о том, что перестановка кванторов меняет смысл высказывания и условие его истинности.