Лекция № 11. Булевы алгебры и теория множеств.
Двойственность.
Определение. Функция
называется двойственной к функции
,
если
.
Если взять отрицание обеих частей
равенства и подставить
вместо переменных
,
то получится
.
Это означает, что функция
двойственна к функции
,
и, таким образом, отношение двойственности
является симметричным. Из определения
двойственности ясно, что для любой
функции двойственная ей функция
определяется однозначно. В частности,
может оказаться, что функция двойственна
самой себе. В этом случае она называется
самодвойственной.
Пример 1. Если рассматривать
логические функции, то, очевидно,
дизъюнкция двойственна конъюнкции и
наоборот (непосредственно следует из
правил Де Моргана). Отрицание является
самодвойственной функцией. Функция-константа
двойственна функции
.
Ещё один традиционный пример
самодвойственной функции – функция
.
Пользуясь определением двойственности нетрудно доказать следующее утверждение, называемое принципом двойственности.
Теорема 10.1. Если в формуле
,
представляющей функцию
,
все знаки функций заменить соответственно
на знаки двойственных им функций, то
полученная формула
будет представлять функцию
,
двойственную функции
.
В булевой алгебре принцип двойственности имеет более конкретный вид, вытекающий из ранее приведённых примеров: если в формуле , представляющей функцию , все конъюнкции заменить дизъюнкциями и наоборот, все единицы заменить нулями и наоборот, то получим формулу , представляющую функцию , двойственную функции .
Если функции равны, то двойственные им
функции также равны. Это позволяет с
помощью принципа двойственности получать
новые эквивалентные соотношения,
переходя от равенства
с помощью указанных замен к равенству
.
Примером могут служить соотношения
и
,
которые могут быть получены друг из
друга по указанному принципу.
Булева алгебра и теория множеств.
Ранее были описаны булевы алгебры
множеств, то есть алгебры вида
,
где
- булеан множества
,
то есть множество всех его подмножеств.
Общий термин “булева алгебра” для
алгебр множеств и логических функций
не является случайным.
Определение. Всякая алгебра
типа
называется булевой алгеброй, если её
операции удовлетворяют соотношениям
1 – 10 (см. предыдущую лекцию).
В алгебре множеств элементами являются подмножества фиксированного универсального множества . В этой алгебре операция пересечения соответствует конъюнкции, операция объединения соответствует дизъюнкции, а операция дополнения соответствует отрицанию. Само множество является единицей, а пустое множество – нулём. Справедливость соотношений 1 – 10 для этой алгебры можно доказать непосредственно, рассматривая в них переменные как множества, а знаки логических функций – как соответствующие операции над множествами.
В одной из предыдущих лекций отмечалось
взаимно однозначное соответствие между
множеством
,
где
и множеством
двоичных векторов длины
.
Каждому подмножеству
соответствует двоичный вектор
,
где
,
если
,
и
,
если
.
Операции над векторами в булевой алгебре
определяются следующим образом.
Пусть даны два вектора
и
из множества
.
Тогда:
,
,
.
Поскольку компоненты (координаты) векторов принимают значения 0 или 1, то указанные операции – это просто логические операции над двоичными переменными, поэтому операции над векторами естественно назвать покомпонентными логическими операциями над двоичными векторами.
Пример 2. Даны векторы
и
.
Найти
.
Решение:
.
Заметим, что подобные операции (наряду с логическими операциями над переменными) входят в систему команд любой современной ЭВМ.
Теорема 10.2. Если мощность
множества
равна
,
то булева алгебра
изоморфна булевой алгебре
.
Эта простая по содержанию теорема имеет огромное значение в математике. Она позволяет заменить теоретико-множественные операции над системой подмножеств данного множества поразрядными логическими операциями над двоичными векторами.
Похожая по формулировке, но значительно
отличающаяся по смыслу теорема существует
для множества всех логических функций
переменных
.
Обозначим это множество
.
Оно замкнуто относительно операций
и, следовательно, образует конечную
булеву алгебру
,
которая является подалгеброй булевой
алгебры логических функций.
Теорема 10.3. Если мощность
множества
равна
,
то булева алгебра
изоморфна булевой алгебре функций
.
Теорема 10.3 указывает на тесную связь между множествами и логическими функциями и позволяет переходить от операций над множествами к операциям над функциями и обратно. В частности, они позволяют непосредственно производить операции над функциями, заданными не формулами, а таблицами. Пример приведён в следующей таблице, содержащей две функции трёх переменных и и результаты операций над ними:
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
