3. Суперпозиции и формулы.

Ранее было введено определение суперпозиции функций, согласно которому суперпозицией нескольких функций называлась новая функция, полученная с помощью подстановок данных функцией друг в друга и переименования переменных. Выражение, описывающее эту суперпозицию, называли формулой. Поскольку понятие суперпозиции является очень важным в алгебре логики, рассмотрим его более подробно.

Пусть дано множество (конечное или бесконечное) исходных функций . Символы переменных , содержащихся в данных функциях, будем считать формулами глубины 0.

Определение. Говорят, что формула имеет глубину , если она имеет вид , где , а формулы, максимальная из глубин которых равна . При этом называются подформулами формулы , а называется внешней, или главной операцией формулы .

Соответственно, формулы также могут иметь подформулы, которые являются в этом случае и подформулами формулы . Например, выражение в наших обозначениях – это формула глубины 1. Выражение является формулой глубины 3, содержащей одну подформулу глубины 2 и две подформулы глубины 1.

В дальнейшем конкретные формулы будем записывать в более привычном виде, при котором условные знаки функций стоят между аргументами (такую запись называют инфиксной). Например, если является конъюнкцией, дизъюнкцией, а импликацией, то приведённая выше формула примет вид .

Все формулы, построенные подобным образом, то есть содержащие только символы переменных, скобки и знаки функций из множества , называются формулами над множеством .

Возможны и другие интерпретации понятия глубины. Например, считается, что расстановка отрицаний над переменными не увеличивает глубины формулы. В случае, когда множество содержит некоторую ассоциативную операцию , можно считать, что применение этой операции к формулам с той же внешней операцией не увеличивает глубины формулы. Например, формулы и имеют одну и ту же глубину 3.

Всякая формула, выражающая данную функцию, как суперпозицию других функций, задаёт способ её вычисления (при условии, что известно, как вычислять исходные функции). Этот способ определяется следующим очевидным правилом: формулу можно вычислить, только если уже вычислены значения всех её подформул. Применим, например формулу к набору . Получим: . Далее получим . Наконец, .

Таким образом, формула ставит в соответствие каждому набору значений аргументов значение функции и, значит, может наряду с таблицей служить способом задания и вычисления функции. В частности, по формуле, вычисляя её на всех наборах, можно восстановить таблицу функции. О формуле, задающей функцию, говорят также, что она представляет или реализует функцию.

В отличие от табличного задания представление данной функции формулой не единственно. Например, если в качестве исходного множества функций зафиксировать функции из предыдущего пункта (то есть функции И, ИЛИ, НЕ), то функцию - штрих Шеффера – можно представить формулами и . Функцию - стрелка Пирса – можно представить формулами и .

Определение. Формулы, представляющие одну и ту же функцию называются эквивалентными или равносильными.

Эквивалентность формул принято обозначать знаком равенства, поэтому можно записать: .

Существует стандартный метод для выяснения эквивалентности двух формул. По каждой формуле восстанавливается таблица функции, а затем две полученные таблицы сравниваются. Таким способом в предыдущеё лекции мы устанавливали равносильность высказываний. Он весьма громоздок, так как требует вычислений, если считать, что обе формулы зависят от переменных. Более простыми методами, позволяющими устанавливать эквивалентность данных формул, а также получать новые формулы, эквивалентные исходной, являются эквивалентные преобразования, которые будут рассмотрены в дальнейшем.