48. Понятие алгебраической системы

Если в прошлых веках и в начале XX века алгебра изучала весьма ограниченное число алгебраических структур, то сейчас можно дать очень общее определение алгебры – а именно: наука о свойствах множеств, на которых определена та или иная система операций и отношений. В развитие такого взгляда на алгебру внес большой вклад А.И. Мальцев. В частности, он ввел понятие алгебраической системы, что и является темой данного раздела. Благодаря работам А.И. Мальцева стало ясно, что алгебра и математическая логика – две тесно связанные между собой дисциплины.

Алгебраическая система (или алгебраическая структура) в универсальной алгебре — множество (носитель) с заданным на нём набором операций и отношений (сигнатура), удовлетворяющим некоторой системе аксиом. Алгебраическая система с пустым множеством отношений называется универсальной алгеброй, а система с пустым множеством операций — моделью.

n-арная операция на G — это отображение прямого произведения n экземпляров множества в само множество . По определению, 0-арная операция — это просто выделенный элемент множества. Чаще всего рассматриваются унарные и бинарные операции, поскольку с ними легче работать. Но в связи с нуждами топологии, алгебры, комбинаторики постепенно накапливается техника работы с операциями большей арности, здесь в качестве примера можно привести теорию операд (клонов полилинейных операций) и алгебр над ними (мультиоператорных алгебр).

Для алгебраических систем естественным образом определяются морфизмы как отображения, сохраняющие операцию. Таким образом определяются категории групп, колец, R-модулей и т. п.

Если множество обладает структурой топологического пространства, и операции являются непрерывными, то его называют топологической алгебраической системой. Так, в топологической группе операции умножения и взятия обратного элемента являются непрерывными.

Список алгебраических систем

Множество можно считать вырожденной алгебраической системой с пустым набором операций и отношений ([1] — С.15).

Группоиды, полугруппы, группы

Группоид — множество с одной бинарной операцией , обычно называемой умножением.

Правая квазигруппа — группоид, в котором возможно правое деление, то есть уравнение имеет единственное решение для любых и .

Квазигруппа — одновременно правая и левая квазигруппы.

Лупа — квазигруппа с единичным элементом , таким, что .

Полугруппа — группоид, в котором умножение ассоциативно: .

Моноид — полугруппа с единичным элементом.

Группа — моноид, в котором для каждого элемента a группы можно определить обратный элемент a−1, такой, что .

Абелева группа — группа, в которой операция коммутативна, то есть, . Операцию в абелевой группе часто называют сложением ('+').

Кольца

Полукольцо — похоже на кольцо, но без обратимости сложения.

Почти-кольцо — также обобщение кольца, отличающееся от обычного кольца отсутствием требования коммутативности сложения и отсутствием требования дистрибутивности умножения по сложению (левой или правой)

Кольцо — структура с двумя бинарными операциями: абелева группа по сложению, моноид по умножению, выполняется закон дистрибутивности: .

Коммутативное кольцо — кольцо с коммутативным умножением.

Целостное кольцо — кольцо, в котором произведение двух ненулевых элементов не равно нулю.

Тело — кольцо, в котором ненулевые элементы образуют группу по умножению.

Поле — коммутативное кольцо, являющееся телом.

Алгебры

Алгебра (линейная) — пространство с билинейной дистрибутивной операцией умножения, иначе говоря, кольцо с согласованной структурой пространства

Ассоциативная алгебра — алгебра с ассоциативным умножением

Алгебра термов

Коммутативная алгебра

Градуированная алгебра

Алгебра Ли — алгебра с антикоммутативным умножением (обычно обозначаемым ), удовлетворяющим тождеству Якоби

Алгебра Лейбница — алгебра с умножением (обычно обозначаемым ), удовлетворяющим тождеству Якоби

Алгебра Йордана — коммутативная алгебра с тождеством слабой ассоциативности:

Алгебра некоммутативная йорданова — некоммутативная алгебра с тождеством слабой ассоциативности: и тождеством эластичности:

Альтернативная алгебра — алгебра с тождествами

Алгебра Мальцева — антикоммутативная алгебра с тождеством

Алгебра над операдой — один из наиболее общих видов алгебраических систем. Здесь сама операда играет роль сигнатуры алгебры.

Решётки

Решётка — структура с двумя коммутативными, ассоциативными, идемпотентными операциями, удовлетворяющими закону поглощения.

Булева алгебра.

49. Полугруппы и моноиды.

В математике, полугруппой называют множество с заданной на нем ассоциативной бинарной операцией .

Примеры полугрупп

Положительные целые числа с операцией сложения.

Любая группа является также и полугруппой.

Идеал кольца всегда является полугруппой относительно операции умножения.

Множество всех отображений множества в себя с операцией суперпозиции отображений

Множество всех бинарных отношений на множестве с операцией умножения бинарных отношений.

Множество всех слов над некоторым алфавитом с операцией конкатенации (присоединения)

Две полугруппы S и T называются изоморфными, если существует биекция f : S → T, такая что .

Структура полугруппы

Если , то принято обозначать

Подмножество A полугруппы S называется подполугруппой, если оно замкнуто относительно полугрупповой операции и само в свою очередь является полугруппой.

Если подмножество A непусто и AS (SA) лежит в A, то A называют правым (левым) идеалом. Если A является одновременно левым и правым иделом, то его называют двусторонним идеалом, или просто идеалом.

Пересечение двух идеалов - также идеал; из этого следует, что полугруппа не может иметь более одного наименьшего идеала. Пример полугруппы, в которой нет наименьшего идеала - положительные целые числа с операцией сложения. Если же наименьший идеал есть, а полугруппа коммутативна, то он является группой.

Благодаря ассоциативности, можно корректно определить натуральную степень элемента полугруппы как

.

Для степени элемента справедливо .

Частным случаем полугрупп являются полугруппы с делением, в которых для каждых двух элементов a и b определено правое (a/b) и левое (b\a) частное.

Отношения Грина

В 1951 году Грин ввел пять фундаментальных отношений эквивалентности на полугруппе. Они оказались существенными для понимания полугруппы как в локальном, так и в глобальном аспектах. Отношения Грина на полугруппе определяются следующими формулами

Уже из определения видно, что R - левая конгруэнция, а L - правая конгруэнция. Также известно, что . Одним из наиболее фундаментальных утверждений в теории полугрупп является лемма Грина, которая утверждает, что если элементы a и b R-эквивалентны, u,v такие, что au=b, bv=a и - соответствующие правые сдвиги, то - взаимно обратные биекции на и наоборот соответственно. Также они сохраняют H-классы.

Моноид — полугруппа с нейтральным элементом.

Таким образом, моноидом называется множество , на котором задана бинарная ассоциативная операция, обычно именуемая умножением, и в котором существует такой элемент , что для любого . Элемент называется единицей и часто обозначается . В любом моноиде имеется ровно одна единица.

Примеры

Множество всех отображений произвольного множества в себя является моноидом относительно операции последовательного выполнения (композиции) отображений. Единицей служит тождественное отображение.

Множество эндоморфизмов любой универсальной алгебры является моноидом относительно операции суперпозиции, единица — тождественный эндоморфизм.

Всякая группа является моноидом.

Свойства

Всякую полугруппу без единицы можно вложить в моноид.

Всякий моноид можно представить как моноид всех эндоморфизмов некоторой универсальной алгебры.

Произвольный моноид можно рассматривать также как категорию с одним объектом.

Для любого элемента моноида можно определить нулевую степень как [1].