30. Понятие нечеткого отношения. Проекция и носитель нечеткого отношения

Введем понятия нечеткого отношения и рассмотрим его свойства [37].

Определение 9.18. Нечетким отношением на множестве

называется нечеткое подмножество декартова произведения , которое характеризуется такой функцией принадлежности , что  . Причем  принимаается как субъективная мера выполнения отношения .

П ример 9.3. Пусть заданы:

а) четкое отношение , где ;

б) нечеткое отношение ;

                                                рис 9.6

На рис. 9.6.а приведены пары  из интервала , связанные отношением ,то есть такие, что . Они образуют множество точек заштрихованной области, которые отделены четкой границей - диагональю от других точек.

Строя нечеткое отношение  на единичном квадрате, убеждаемся, что существуют пары , которые можно определенно отнести ко множеству  (например, точка ), а также те, которые определенно не принадлежат  (например, )

Кроме того имеется несчетное множество пар , о принадлежности которых к множеству  можно судить лишь приблизительно с определенной субъективностью (например, точка ). Поэтому нечеткое множество  характеризуется отсутствием четкой границы от дополнительного множества , и степень принадлежности  пары  следует характеризовать плотностью штриховки (рис. 9.6. б). Можно рассмотреть некоторые сечения отношения  при фиксированном  .

Соответствующее семейство функций  приведено на рис. 9.6.в. Если отношение  на конечно, то его функция принадлежности  задается в виде квадратной матрицы  с элементами . Если , то это означает, что степень выполнения отношения  равна .

Носителем нечеткого отношения  на множестве  называется подмножество декартова произведения , определяемое так:

supp .

31. Объединение, пересечение и алгебраическое произведение двух нечетких отношений.

Операции над нечеткими отношениями.

Пусть на множестве заданы два нечетких отношения и с функциями принадлежности . Тогда множество представляет собой объединение нечетких отношений и  на множестве ,если его функция принадлежности определяется выражением

 .

Аналогично множество является пересечением нечетких множеств  и , если

 .

Можно ввести также операции сильного объединения и сильного пересечения, аналогичные операциям над нечеткими множествами (см. определение 9.6, 9.8).

Нечеткое отношение включает в себя нечеткое отношение   , если для них выполняется соотношение   .

Если -нечеткое отношение с функцией принадлежности , то отношения , характеризующееся функцией принадлежности    называется дополнением  на множестве

Обратное к  отношение на  определяется следующим образом: , при этом функции принадлежности связаны между собою равенством .

Алгебраическое произведение двух отношений. Алгебраическое произведение  двух отношений  и  определяется выражением

.               (12.35)

Знак  в правой части этого выражения обозначает числовое произведение (обычное умножение).