10 Пример выполнения упражнения тренинга на умение № 10

Задание 1

Написать матрицу оператора A : R³  R³ где Ax = (x₁ + x₃, x₂, 2x₁ + x₃) для x = (x₁, x₂, x₃)  R³ в стандартном базисе.

Решение

№ п/п	Алгоритм	Конкретное соответствие данного задания предложенному алгоритму
1	Найти образцы базисных векторов (I = 1, 2, 3)	Применим преобразование А к базисным векторам e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1). = (1 + 0, 0, 21 + 0) = (1, 0, 2) = e1 + 2e3 = (0 + 0, 1, 20 + 0) = (0, 1, 0) = e2 = (0 + 1, 0, 20 + 1) = (1, 0, 1) = e1 + e3
2	Записать в k-й столбец матрицы A(k = 1, 2, 3) координаты вектора по базису {e} и получить матрицу оператора А в базисе {e}

Задание 2

В пространстве многочленов степени  3 задан оператор

D : p(t)  t  p(t) + p(t) =

Написать матрицу этого оператора в стандартном базисе 1, t, t², t³.

Решение

№ п/п	Алгоритм	Конкретное соответствие данного задания предложенному алгоритму
1	Найти образцы базисных векторов D(ei) (i = 1, 2, 3, 4)	D(e1) = D(1) = 0 = (0, 0, 0, 0) D(e2) = D(t) = 0 + 1 = (1, 0, 0, 0) D(e3) = D(t2) = 2t + 2t = 4t = (0, 4, 0, 0) D(e4) = D(t3) = 32tt + 3t2 = 9t2 = (0, 0, 9, 0)
2	Запишем координаты базисных векторов в столбцы матрицы А	– матрица заданного оператора D в стандартном базисе

Решите самостоятельно следующие задания:

Задание 10.1

Написать матрицу преобразования А в заданном базисе

A : R³  R³; Ax = (x₃,x₁,x₂ ), где x = (x₁,x₂,x₃)  R³; базис стандартный.

Задание 10.2

Написать матрицу преобразования А в заданном базисе

A : R³  R³; Ax = (a, a)x, где x = (x₁, x₂, x₃)  R³; a  R³ – фиксированный; базис стандартный.

Задание 10.3

Написать матрицу преобразования А в заданном базисе

D : p(t)  p(t) + p(t), где p(t) – многочлен степени  3; базис стандартный 1, t, t², t³.

Задание 10.4

Написать матрицу оператора D в стандартном базисе e^t, e^–t.

D : f(t)  f(t) + f(t), где f(t) = ae^t+ be^–t(f(t) L(e^t, e^–t)), a, b – любые числа.

Задание 10.5

Написать матрицу оператора D, заданного в задаче № 4 в базисе shx, chx.

11 Пример выполнения упражнения тренинга на умение № 11

Задание 1

Найти координаты образа y = Ax, где Ax = (x₁ + x₃, x₂, 2x₁ + x₃), x = (x₁, x₂, x₃) = (3,–1,2)  R³ в стандартном базисе.

Решение

№ п/п	Алгоритм	Конкретное соответствие данного задания предложенному алгоритму
1	Написать матрицу оператора А в базисе {e}	(см. задание 1, тр. 10)
2	Выписать вектор-столбец xe и определить координаты образа y = Ax в базисе {e}: ye = Axe	Замечание. Координаты образа у можно получить непосредственно, применяя преобразование А к данному вектору x = (3,–1,2): y = Ax = (3+ 2, – 1,23 + 2) = (5,–1,8)

Задание 2

Найти координаты образа D(p), где p = 2 – 3t² + 2t³,

D : p(t)  t  p(t) + p(t);

пространство многочленов степени  3, базис стандартный.

Решение

№ п/п	Алгоритм	Конкретное соответствие данного задания предложенному алгоритму
1	Написать матрицу А оператора D в заданном базисе	(см. задание 2, тр. 10)
2	Выписать вектор-столбец координат многочлена p(t) в заданном базисе и найти координаты образа D(p), в том же базисе	Замечание. Применим оператор D к многочлену p(t):
2		D(p) = (0, – 12, 18, 0) – координаты образа в стандартном базисе. Так, для вычисления координат образа можно использовать любой способ, в зависимости от ситуации

Решите самостоятельно следующие задания:

Задание 11.1

Найти координаты вектора-образа в заданном базисе:

A : R³  R³; Ax = (x₃, x₁, x₂ ), где x = (x₁, x₂, x₃)  R³;

найти Ax для x = (1,–2,0), базис стандартный.

Задание 11.2

Найти координаты вектора-образа в заданном базисе:

A : R³  R³; Ax = x,

где – фиксировано, x  R³; найти Ax для x = (3,1,–1), базис стандартный.

Задание 11.3

Найти координаты вектора-образа в заданном базисе:

A : R³  R³; Ax = (x, a)a,

где x  R³; a = (1,2,1) – фиксированный вектор, найти Ax для x = (3,–4,2), базис стандартный, скалярное произведение обычное.

Задание 11.4

Найти координаты вектора-образа в заданном базисе:

D : f(t)  t  p(t) + p(t),

p(t) – многочлен степени  3, найти D(p), если p = 2t³ – 3t² + 1; базис стандартный.

Задание 11.5

В линейной оболочке L(e^3t, e^–3t), задан оператор D : f  f. Найти D(f), для f = 2e^–3t в базисе sh3t, ch3t.