9 Пример выполнения упражнения тренинга на умение № 9
Задание 1
Проверить линейность оператора A : R3 R3 , где
Aх = (x1 + x3, x2, 2x1 + x3 ) для x = (x1, x2, x3) R3.
Решение
№ п/п |
Алгоритм |
Конкретное соответствие данного задания предложенному алгоритму |
1 |
Составить вектор z = x + y, где , – любые числа, x, y R3 |
z = (z1, z2, z3) = (x1¸ x2, x3) + (y1, y2, y3) = (x1 + y1, x2 + y2, x3 + y3) |
2 |
Найти образ Az = A(x + y) |
Az = (z1 + z3, z2, 2z1 + z3), где z1 + z3 = x1 + y1 + x3 + y3 = (x1 + + x3) + (y1 + y3) z2 = x2 + y2 2z1 + z3 = 2(x1 + y1) + x3 + y3 = (2x1 + x3) + (2y1 + y3) |
3 |
Найти образы Ax и Ay |
Ax = (x1 + x3, x2, 2x1 + x3) Ay = (y1 + y3, y2, 2y1 + y3) |
4 |
Проверить, совпадают ли векторы Az и Ax + Ay |
Ax + Ay = (x1 + x3, x2, 2x1 + x3) + (y1 + y3, y2, 2y1 + y3) = ((x1 + + x3)+ (y1 + y3); x2 + y2; (2x1 + x3) + (2y1 + y3)) Сравнивая координаты вектора Ax + Ay с соответствующими координатами вектора Az убеждаемся, что Ax + Ay = Az |
5 |
Сделать вывод |
Так как Ax + Ay = A(x + y), то (оператор) преобразование А – линейно |
Задание 2
Проверить линейность преобразования Ax = x + a, где x, a V причем a – фиксированный вектор.
Решение
№ п/п |
Алгоритм |
Конкретное соответствие данного задания предложенному алгоритму |
1 |
Составить вектор z = x + y |
z = x + y, где x, y V, , –любые числа |
2 |
Найти образ Az = A(x + y) |
Az = A(x + y) = z + a = x + y + a |
3 |
Найти образы Ax и Ay |
Ax = x + a, Ay = y + a |
4 |
Проверить, совпадают ли векторы Az и Ax + Ay |
Ax = x + a Ay = y + a. Ax + Ay = x + y + ( + )a. Сравнивая образы A(x + y) (п. 2) и Ax + Ay, получим, что они совпадают лишь в случае + = 1 (не для всяких , ) |
5 |
Сделать вывод |
Так как A(x + y) Ax + Ay для любых , , то преобразование А не является линейным |
Задание 3
В пространстве
дважды дифференцируемых на (a,b)
функции f(t) задан оператор
дифференцирования
D : f(t) t f(t) + f(t).
Проверить линейность оператора D.
Решение
№ п/п |
Алгоритм |
Конкретное соответствие данного задания предложенному алгоритму |
1 |
Составить функцию (t) = f(t) + g(t) |
(t) = f(t) + g(t), здесь , –любые числа, f(t), g(t) С2(a,b) |
2 |
Найти образ D((t)) |
D((t)) = t (t) + (t) = t(f(t) + g(t)) + (f(t) + g(t)) = (tf(t) + +f(t)) + (g(t)t + g(t)). (Использовали линейность операции дифференцирования: по правилам дифференцирования: производная от суммы функций равна сумме производных, числовой множитель можно вынести за знак производной) |
3 |
Найти образы D(f(t)) и D(g(t)) |
D(f(t)) = tf(t) + f(t) D(g(t)) = tg(t) + g(t) |
4 |
Проверить, совпадают ли D(f + g) и D(f) + D(g) |
D(f) + D(g) = (tf+ f) + (tg+ g) = t(f+ g) + f+g. Сравнивая результаты п. 2 с последним равенством, получаем, что D(f + g) = D(f) + D(g) |
5 |
Сделать вывод |
Оператор D : f(t) t f(t) + f(t) – линейный |
Решите самостоятельно следующие задания:
Задание 9.1
Проверить линейность заданного преобразования
A : R3 R3; Ax = (x3, x1, x2), где x = (x1, x2, x3) R3.
Задание 9.2
Проверить линейность заданного преобразования
A : R3 R3; Ax = (x1 + 1, x2, 2x3), где x = (x1, x2, x3) R3.
Задание 9.3
Проверить линейность заданного преобразования
A : V V; Ax = (a, a)x,
где a, x – векторы евклидова пространства V, a – фиксированный вектор.
Задание 9.4
Проверить линейность заданного преобразования
A : V V; Aх = a,
где a, x V, a – фиксированный вектор.
Задание 9.5
Проверить линейность заданного преобразования
D : f(t) f(t) + f(t),
где f(t) – дифференцируемая на (a, b) функция.
Задание 9.6
Проверить линейность заданного преобразования
D : f(t) f(t) + С,
где f (t) – дважды дифференцируемая на (a, b) функция, С = const.