5 Пример выполнения упражнения тренинга на умение № 5
Задание
Привести кривую второго порядка 3x2 + 2xy + 3y2 – 4 = 0 к каноническому виду.
Решение
Общее уравнение кривой второго порядка имеет вид:
Ax2 + 2Bxy + Cy2 + 2Dx + 2Ey + F = 0,
где хотя бы один из коэффициентов A, B, C отличен от нуля (A2 + B2 + C2 > 0).
Здесь A = 3, B = 1, C = 3, D = E = 0; F=–4; AC – B2 = 9 – 1 > 0.
Следовательно, кривая центральная, эллиптического типа.
Координаты центра x0, y0 находим из системы:
или
.
Центр находится в начале координат, перенос осей не нужен, требуется лишь поворот системы координат.
№ п/п |
Алгоритм |
Конкретное соответствие данного задания предложенному алгоритму |
1 |
Выписать матрицу квадратичной формы |
Q(x, y) = 3x2 + 2xy + 3y2
|
№ п/п |
Алгоритм |
Конкретное соответствие данного задания предложенному алгоритму |
2 |
Найти собственные числа 1, 2 |
1 = 4, 2 = 2 |
3 |
Найти ортонормированные собственные векторы u1, u2 |
1 = 4;
2 = 2;
|
4 |
Составить матрицу С перехода от базиса {e} к базису {u} |
Стандартный базис: e1 = (1, 0); e2 = (0, 1). Новый собственный базис: u1, u2. Матрица перехода от {e} к {u}:
|
5 |
Записать канонический вид кривой 1(x)2 +2(y)2+F= 0 |
Перейдем к новым координатам x, y:
В новой системе координат x, y уравнение кривой имеет вид: 4(x)2 + 2(y)2 – 4 = 0 |
6 |
Определить тип кривой и сделать чертеж |
Приведем полученное уравнение к каноническому виду:
Новые оси OX, OY
направлены по собственным векторам
u1, u2, переход к
новым осям осуществлен поворотом на
угол
|
матрица
поворота на угол 
– эллипс с полуосями a = 1,
.
против часовой стрелки
Решите самостоятельно следующие задания:
Задание 5.1
Привести следующие кривые второго порядка к каноническому виду:
2xy – 4x2 – y2 – 15 = 0.
Задание 5.2
Привести следующие кривые второго порядка к каноническому виду:
x2 – 6xy + y2 – 16 = 0.
Задание 5.3
Привести следующие кривые второго порядка к каноническому виду:
5x2 – 2xy + 5y2 = 0.
6 Пример выполнения упражнения тренинга на умение № 6
Задание 1
Проверить образует ли линейное подпространство множество
W1 = {x = (x1, x2, x3, x4) R4 | 2x1 + x4) = 0}.
Множество W1 состоит из тех
векторов пространства R4, для
координат которых выполняется условие
2x1 + x4 = 0 (например,
= (– 2, 3, 0, 4) W1,
а вектор
= (3, 1, 1, 0) W1).
Решение
№ п/п |
Алгоритм |
Конкретное соответствие данного задания предложенному алгоритму |
1 |
Составить вектор z = x + y, где , – пропорциональные числа, x, y W1 |
Пусть x = (x1, x2, x3, x4) и y = (y1, y2, y3, y4) W1, т.е. обладают свойством
Составим вектор z = x + y = (x1 + y1; x2 + y2; x3 + y3; x4 + y4) = = (z1, z2, z3, z4) |
2 |
Выяснить, принадлежит ли вектор z множеству W1 |
Найдем для вектора z сумму координат 2z1 + z4. 2z1 + z4 = 2(x1 + y1) + (x4 + y4) = (2x1 + x4) + +(2y1 + y4) = 0 (см. (*)). Для вектора z выполнены условия, определяющие множество W1 т.е. z W1 |
3 |
Сделать вывод |
Линейные операции над векторами множества W1 не выводят из множества W1. Следовательно, W1 – подпространство |
Задание 2
Проверить, образует ли линейное подпространство множество
W2 = {x = (x1, x2, x3, x4) R4 | 2x1 + x4) = 0}.
Решение
№ п/п |
Алгоритм |
Конкретное соответствие данного задания предложенному алгоритму |
1 |
Составить вектор z = x + y, где , – произвольные числа, x, y W2. |
Пусть x = (x1, x2, x3, x4) W2 и y = (y1, y2, y3, y4) W2, т.е.
Составим вектор z = x + y = (z1, z2, z3, z4), где zi = xi + yi(i = 1, 2, 3, 4) |
2 |
Выяснить, принадлежит ли вектор z множеству W2. |
2z1 + z4 = 2(x1 + y1) + (x4 + y4) = (2x1 + x4) + (2y1 + y4) = + 1, для произвольных , т.е. z W2 |
№ п/п |
Алгоритм |
Конкретное соответствие данного задания предложенному алгоритму |
3 |
Сделать вывод |
Линейные операции над векторами множества W2 выводят за множества W2. Следовательно, W2 не является подпространством. Таким образом, совокупность решений неоднородного уравнения 2x1 + x4 = 1 не образует подпространства в отличие от подпространства решений однородного уравнения 2x1 + x4 = 0. Совокупность решений неоднородной системы – сдвиг подпространства решений однородной системы (см. юниту 1) |
Задание 3
Проверить, образует
ли подпространство множество W
всех четных
функций пространства
.
Решение
№ п/п |
Алгоритм |
Конкретное соответствие данного задания предложенному алгоритму |
1 |
Составить вектор (x) = f(x) + g(x), где , – произвольные числа, f(x), g(x) W |
Пусть f(x), g(x) – четные, непрерывные на (–1, 1) функции, т.е. f, g W. Тогда
Составим функцию (x) = f(x) + g(x) |
2 |
Выяснить, принадлежит ли вектор (x) множеству W |
Сравним (x) и (– x): (– x) = f(– x) + g(– x) = f(x) + g(x) = (x), так как выполняются равенства (*). Итак, (– x) = (x), функция (x) – четная, (x) W |
3 |
Сделать вывод |
Линейные операции над четными функциями оставляют функцию четной, т.е. множество четных функций является подпространством. Аналогично, можно убедиться, что множество нечетных функций пространства С(–1, 1) является подпространством |
Решите самостоятельно следующие задания:
Задание 6.1
Будет ли подпространством подмножество V R4, определенное следующим образом:
V = {x = (x1, x2, x3, x4) R4 | x3 = 2x2}.
Задание 6.2
Будет ли подпространством подмножество V R4, определенное следующим образом:
V = {x = (x1, x2, x3, x4) R4 | x3 > 2x2}.
Задание 6.3
Будет ли подпространством подмножество V R4, определенное следующим образом:
V = {x = (x1, x2, x3, x4) R4 | x1 – целое число}.
Задание 6.4
Будет ли подпространством подмножество V R4, определенное следующим образом:
V = {x = (x1, x2, x3, x4) R4 | x1 + x2 + x3 + x4 = 0}.
Задание 6.5
Образует ли подпространство множество W всех линейных функций
f(x) = ax + b,
где a, b – произвольные числа.
Задание 6.6
Образует ли подпространство множество W всех многочленов третьей степени от переменной x.