Тренинг умений

№

п/п

Алгоритм

Конкретное соответствие данного задания предложенному алгоритму

1

Составить характеристический многочлен

det(A – E)

2

Написать характеристическое уравнение

(1 – )((2 – )² – 1) = 0 или (1 – )²(3 – ) = 0

3

Найти корни характеристического уравнения

₁ = ₂ = 1, ₃ = 3.

_{1, 2} = 1 – корень кратности 2.

_{1, 2} = 1, ₃ = 3 – собственные числа матрицы A

4

Для каждого _i найти собственные векторы

_{1, 2} = 1.

или

эта система эквивалентна одному уравнению:

x₁ – x₂ + x₃ = 0.

Размерность подпространства решений .

Фундаментальная система решений (ФСР) состоит из двух векторов f₁, f₂. Выпишем общее решение системы: {x₁ = x₂ – x₃

x₁ – зависимая переменная, x₂, x₃ – свободные переменные.

, .

, или .

Решим систему методом Гаусса:

№

п/п

Алгоритм

Конкретное соответствие данного задания предложенному алгоритму

r(A) = 2, n = 3.

, _, – зависимые, – свободная переменные.

.

Общее решение:

.

^ФСР:

5

Найти ФСР для каждого .

^₁ ^{= 1;} , ,

^₂ ^{= 3;}

6

Объединить все найденные ФСР

Линейно независимая система собственных векторов матрицы А: f₁, f₂, f₃ образуют ортогональный базис пространства R³, так как

(f₁, f₂) = (f₁, f₃) = (f₂, f₃) = 0

№

п/п

Алгоритм

Конкретное соответствие данного задания предложенному алгоритму

1

Положить g₁ = f₁

g₁ = (1, – 1, 2, 0)

2

g₂ = f₂ –  g₁, где

(g₁, f₁) = 2, (g₁, g₁) = 6.

.

3

(g₁, f₃) = 3; (g₁, g₁) = 6; (g₂, f₃) = 1; (g₂, g₂) = .

.

4

Выписать полученную ортогональную систему g₁, g₂, g₃

g₁ = (1, – 1, 2, 0),

g₂ = (– 1, 1, 1, 3),

g₃ = (3, 1, – 1, 1)