4 Линейные пространства
В различных областях алгебры, геометрии и анализа встречаются объекты, над которыми можно производить операции сложения и умножения на числа. Прежде всего к таким объектам относятся сами числа (вещественные и комплексные). Другими примерами могут служить в механике и геометрии свободные векторы в трехмерном пространстве. Операции сложения векторов и умножение вектора на число определяется известным образом.
В анализе складываются и умножаются на числа функции.
Природа этих объектов различна и операции сложения и умножения на числа определяются по разному, но при этом можно заметить, что эти операции обладают многими общими свойствами: например, сложение подчиняется переместительному и сочетательному законам, а умножение удовлетворяет распределительному закону относительно сложения. Имеются и другие общие закономерности.
Чтобы изучить все такие объекты с единой точки зрения, вводится понятие линейного векторного пространства. Элементы линейного пространства обычно называют векторами (хотя по природе своей они могут быть вовсе не похожи на привычные нам направленные отрезки) или точками. Обозначать элементы линейного пространства будем малыми латинскими буквами х, у, z.
4.1 Определение линейного пространства
Множество V называется линейным (или афинным) пространством, если
1) задано правило, по которому для каждых
2-х элементов
можно построить третий элемент
,
называемый суммой х и у и
обозначаемый
;
2) задано правило, которое позволяет для
каждого элемента и каждого числа
построить элемент
,
,
называемый произведением х на число
;
3) правила построения суммы и произведения элемента на число удовлетворяющих следующим аксиомам:
I. а)
;
б)
;
в) существует 0 (нуль-вектор), такой
элемент из R, что
;
г) для всякого
существует элемент
такой, что
;
у – называют противоположным к х
элементом.
II. а)
;
б)
и любых
.
III. а)
;
б)
и любых
.
Если числа в определении вещественны, то получим вещественное линейное пространство, в противном случае комплексное.
В дальнейшем, если не оговорено противное, будем иметь дело с действительным линейным пространством.
Не случайно в определении ничего не говорится о том, как задаются операции сложения и умножения на числа, требуется только, чтобы выполнились перечисленные аксиомы. В каждом конкретном линейном пространстве эти операции определяются по своему.
Рассмотрим несколько примеров линейных пространств.
1. Совокупность всех вещественных или комплексных чисел с обычными операциями сложения и умножения на действительные числа.
2. Множество свободных векторов в 3-х
мерном пространстве
(или совокупность векторов в пространстве,
начала которых совпадает с началом
координат).
3. Совокупность всех непрерывных на
функций с принятыми в анализе операциями
поточечного сложения функций
и умножения функции на число
.
Это пространство обозначим
.
4. Совокупность всех многочленов степени
не выше n:
тоже образуют линейное пространство.
5. Рассмотрим однородную линейную систему уравнений
.
Совокупность всех решений такой системы
образует линейное пространство,
-вектором в этом пространстве является
тривиальное решение
.
6. Рассмотренное ранее пространство Rn.
Элементы его представляют собой
совокупность любых n вещественных
чисел:
;
числа
обычно называют координатами. Операции
сложения и умножения вводятся покоординатно
(см. юниту 1).
7. Совокупность вещественных матриц одного порядка с введенными операциями сложения матриц и умножения матриц на число.
Каждое из приведенных линейных пространств содержит нулевой элемент, для каждого элемента есть противоположный.
Во всех рассмотренных примерах операции сложения и умножения на число определены так, что выполняются все аксиомы I–III, так как в конечном счете все операции сводятся к операциям над числами.