3 Пример выполнения упражнения тренинга на умение № 3

№

п/п

Алгоритм

Конкретное соответствие данного задания предложенному алгоритму

1

Выписать симметричную матрицу квадратичной формы

Для данной квадратичной формы a₁₁ = – 2; 2a₁₂ = 8; 2a₁₃ = – 2; ; 2a₂₃ = 4; a₃₃ = – 4.

2

Вычислить все угловые миноры матрицы А

₁ = – 2 0.

3

Определить знак квадратичной формы. Будет ли форма положительно определенной?

По критерию Сильвестра Q(x) не является положительно определенной, так как не все угловые миноры положительны.

Знаки угловых миноров чередуются, причем, ₁ < 0, значит Q(x) отрицательно определена

№

п/п

Алгоритм

Конкретное соответствие данного задания предложенному алгоритму

1

Выписать матрицу квадратичной формы

2

Вычислить все угловые миноры матрицы А

₁ = 1 > 0.

№

п/п

Алгоритм

Конкретное соответствие данного задания предложенному алгоритму

3

Применить критерий Сильвестра положительной определенности

₁ = 1 > 0.

₂ = 1 > 0.

₃ = –² + 4 – 3 = –( – 1)(  – 3) > 0

для всех (1, 3).

Ответ: если параметр (1, 3), то квадратичная форма Q(x) положительно определена

№

п/п

Алгоритм

Конкретное соответствие данного задания предложенному алгоритму

1

Выписать симметричную матрицу А квадратичной формы

№

п/п

Алгоритм

Конкретное соответствие данного задания предложенному алгоритму

2

Найти собственные числа ₁, ₂, ₃ матрицы А

Характеристический многочлен

Характеристическое уравнение:

det(A – E) = 0, или

P() = (5 – )(² – 16) = 0.

₁ = – 4, ₂ = 4, ₃ = 5.

Все корни различные и просты (кратности 1)

3

Найти собственные векторы f₁, f₂, f₃, отвечающие собственным значениям ₁, ₂, ₃

а) ₁ = – 4

Соответствующая система уравнений:

Решим систему методом Гаусса:

x₃ – свободная переменная.

Собственный вектор (базисный пространства )

f₁ = (– 1, 0, 1)

б) ₂ = 4

Соответствующая система уравнений:

Решим систему методом Гаусса:

x₃ – свободная переменная.

Собственный вектор (базисный пространства )

f₂ = (1, 0, 1).

в) ₃ = 5

Соответствующая система уравнений:

Решим систему методом Гаусса:

№

п/п

Алгоритм

Конкретное соответствие данного задания предложенному алгоритму

x₂ – свободная переменная.

Собственный вектор (базисный пространства ) f₃=(0,1,0)

4

Ортогонализовать базис f₁, f₂, f₃

Полученный собственный базис

(g₁ = f₁; g₂ = f₂; g₃ = f₃)

уже ортогональный т.к. (f₁, f₂) = (f₁, f₃) = (f₂, f₃) = 0.

₁₂₃ – различным собственным значениям отвечают ортогональные собственные векторы симметричной матрицы

5

Нормировать базис {g}

; ; .

; ; .

u₁, u₂, u₃ – ортонормированный собственный базис матрицы А

6

Составить ортогональную матрицу перехода С от базиса {e} к базису {u}

7

Сделать замену переменных x=Cy. Выписать канонический вид квадратичной формы

В координатах y₁, y₂, y₃ квадратичная форма имеет вид суммы квадратов:

8

Записать обратное преобразование координат

В силу ортогональности матрицы С обратная матрица

В старых координатах x₁, x₂, x₃ Q(x) = – 2(x₁ – x₃)² + 2(x₁ + x₃)² + 5 x₂²