7 Пример выполнения упражнения тренинга на умение № 7
Задание 1
Выяснить, образует ли система векторов f1(2,–1,1), f2(0,1,–1), f3(2,1,–1) базис в пространстве R3.
Решение
№ п/п |
Алгоритм |
Конкретное соответствие данного задания предложенному алгоритму |
1 |
Выписать стандартный базис данного линейного пространства и определить размерность пространства |
Стандартный базис R3: e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1). dim R3 = 3 |
№ п/п |
Алгоритм |
Конкретное соответствие данного задания предложенному алгоритму |
2 |
Определить координаты данной системы в стандартном базисе |
В стандартном базисе координаты векторов совпадают с их компонентами: f1 = 2e1 – e2 + e3 = (2, – 1, 1)e f2 = e2 – e3 = (0, 1, – 1)e f3 = 2e1 + e2 – e3 = (2, 1, – 1)e |
3 |
Составить матрицу А из координат векторов {f} в базисе {e} |
|
4 |
Найти ранг матрицы А |
Определим rank A методом Гаусса.
rank А=2 |
5 |
Сделать вывод |
rank A dim R3, система f1, f2, f3 не образует базис |
Задание 2
Образует ли система многочленов 1 =1, 2 = x, 3 = x2 + 2x + 1, 4 = x3 – x2 базис в пространстве многочленов степени n 3.
Решение
№ п/п |
Алгоритм |
Конкретное соответствие данного задания предложенному алгоритму |
1 |
Выписать стандартный базис пространства и определить размерность пространства |
В пространстве P многочленов степени 3 стандартный базис состоит из функций: e1 = 1, e2 = x, e3 = x2, e4 = x3 dim P = 4 |
2 |
Определить координаты системы векторов {} в стандартном базисе {e} |
1 = e1 = (1, 0, 0, 0)e 2 = x = e2 = (0, 1, 0, 0)e 3 = 1 + 2x + x2 = e1 + 2e2 + e3 = (1, 2, 1, 0)e 4 = – x2 + x3 = – e3 + e4 = (0, 0, – 1, 1)e |
3 |
Составить матрицу А из координат векторов {} в базисе {e} |
|
4 |
Найти r (А) |
Определим rank A методом Гаусса.
rank A=4 |
5 |
Сделать вывод |
r (A) = 4 = dim P, система 1, 2, 3, 4 образует базис |
Решите самостоятельно следующие задания:
Задание 7.1
Выяснить, образует ли данная система векторов базис линейного пространства.
f1 = (– 1, 2), f2 = (2, – 4) R2.
Задание 7.2
Выяснить, образует ли данная система векторов базис линейного пространства.
f1 = (1, 4, 6), f2 = (1, – 1, 1), f3 = (1, 1, 3) R3.
Задание 7.3
Выяснить, образует ли данная система векторов базис линейного пространства.
f1 = (1, – 1, 2), f2 = (– 1, 1, – 1), f3 = (2, – 1, 1) R3.
Задание 7.4
Выяснить, образует ли данная система векторов базис линейного пространства.
1(x) = 1+x+х2; 2(x) = 1 + 2x + x2; 3(x) = 1 + 3x + x2;
в пространстве P многочленов степени 2.
Задание 7.5
Выяснить, образует ли данная система векторов базис линейного пространства.
1(x) = x; 2(x) = x2; 3(x) = (1 + x)2;
в пространстве P многочленов степени 2.
Задание 7.6
Выяснить, образует ли данная система векторов базис линейного пространства.
1(x) = shx; 2(x) = chx;
в линейной оболочке функций e1(x) = ex, e2(x) = e–x.