1.7. Напряжения в сплошной среде

Дадим теперь определение вектора напряжений, важное для всего дальнейшего изложения. Силу , отнесенную к площади площадки , называют вектором среднего напряжения на площадке с нормалью в точке сплошной среды

,

а предел этого отношения, когда площадка стягивается к точке , сохраняя свою ориентацию и уменьшаясь при этом до нуля , называют вектором напряжения в точке среды на площадке с нормалью :

. (1.20)

Вектор напряжения есть основная характеристика сил поверхностного взаимодействия внутри сплошной среды. Если на площадке нормалью известен вектор напряжения , то сила, действующая на частицы, находящиеся со стороны площадки, выражается равенством

,

а на некоторую конечную поверхность внутри объема сплошной среды – интегралом:

. (1.21)

Следует иметь в виду, что в каждой точке сплошной среды можно провести бесчисленное множество площадок различной ориентации. Нетрудно понять, что сила сцепления между частицами, разделенными площадкой зависит от ориентации этой площадки. Так, например, в тяжелом брусе, висящем вертикально, напряжение на горизонтальной площадке больше, чем напряжение на площадке, расположенной вертикально (рис. 1.7).

Рис. 1.7. Площадки в точке с различной ориентацией

Вообще, векторов напряжения в данной точке сплошной среды существует столько, сколько площадок с различными ориентациями можно провести через эту точку. Однако, в соответствие с равенством (1.19), множество векторов напряжения в каждой точке обладает центральной симметрией, т.е. векторы напряжения на площадке с нормалями и равны по величине и противоположны по направлению:

. (1.22)

Напряжения - размерные величины. Размерность напряжений определяется на основе формулы (1.20).

.

В соответствии с определением, напряжения в системе СИ измеряются в . Действительно:

.

Напряжение, равное 1 , называется одним Паскалем (Па). Названа она так в честь выдающегося французского философа, математика, физика, основоположника гидравлики Блеза Паскаля (1623-1662).

Если учесть, что сила 1 называется одним Ньютоном (т.е. 1 Н 0,10194 килограмм силы (кГс) грамм силы), то 1 Па = 1 .

Теорема о представлении вектора напряжений на произвольной площадке через векторы напряжения на трех взаимно перпендикулярных (базисных) площадках

Оказывается, для того чтобы знать все векторы напряжений в точке , т. е. знать вектор напряжения на любой площадке, проходящей через точку , достаточно знать всего лишь три вектора напряжения, в частности, на трех взаимно перпендикулярных площадках, проходящих через точку .

Рассмотрим произвольный прямоугольный тетраэдр МАВС, выделенный в сплошной среде, так что точка является его вершиной, а боковые грани МАВ, МВС, MСA параллельны координатным плоскостям, причем передняя грань тетраэдра перпендикулярна единичному вектору (рис. 1.9).

Рис. 1.9. К доказательству теоремы о напряжениях

Плоскости взаимно перпендикулярных граней, параллельные координатным плоскостям, имеют своими нормалями:

грань МАВ — вектор ,

грань МВС — вектор ,

грань МСА — вектор .

Часть сплошной среды, заключенная внутри тетраэдра, представляет собой систему материальных точек, поэтому к ней можно применить принцип Даламбера, состоящий в том, что сумма всех внешних сил, приложенных к этой системе, включая силу инерции , равна нулю. Этот принцип эквивалентен второму закону Ньютона.

На сплошную среду, заключенную внутри тетраэдра, действуют следующие силы:

а) массовые где высота тетраэдра, опушенная из вершины на грань АВС;

б) инерции ;

в) поверхностные

.

Здесь , , - площади граней тетраэдра.

Поскольку , , , см. (1.22), то сумма поверхностных сил равна

.

Боковые грани МАВ, МВС, MСA тетраэдра являются проекциями его основания на координатные плоскости , и , соответственно, поэтому

согласно известной теореме о том, что площадь прямоугольной проекции равна площади самой фигуры, умноженной на косинус угла проектирования. Отсюда следует, что сумму поверхностных сил можно представить в следующем виде:

.

Согласно принципу Даламбера, сумма всех сил (включая силу инерции), действующих на сплошную среду, заключенную внутри тетраэдра, равна нулю, поэтому имеем:

.

Последнее уравнение справедливо для тетраэдра произвольных размеров, поэтому можно устремить его высоту к нулю так, чтобы грань ABC, сохраняя свою ориентацию в пространстве, т.е. оставалась перпендикулярно первоначально выбранному вектору . При этом в силу непрерывности, и . В пределе имеем:

. (1.23)

Формула (1.23) показывает, что вектор напряжения на любой площадке с нормалью в точке может быть представлен в виде линейной комбинации трех векторов , выражающих векторы напряжений на трех взаимно перпендикулярных (базисных) площадках. Коэффициенты этого разложения равны косинусам углов между нормалью и координатными осями. В дальнейшем вектор обозначается , , .