2.3. Распределение давления в покоящейся жидкости
Найдем
распределение давления в однородной
несжимаемой жидкости (
),
находящейся в состоянии равновесия под
действием силы тяжести. Если плоскость
расположить горизонтально, а ось
направить вертикально вверх, то
единственной массовой силой будет сила
тяжести с проекциями напряжения
,
где
ускорение силы тяжести.
Поскольку
в горизонтальном направлении на частицы
жидкости массовые силы не действует,
то это означает, что давление
не зависит от координат
и
.
Этот же вывод следует из уравнений
равновесия (2.12):
Из последнего уравнения системы следует, что давление в покоящейся жидкости с постоянной плотностью линейно увеличивается с глубиной:
,
(2.14)
где
постоянная интегрирования.
Поверхность,
давление на которой постоянно, называется
изобарической
поверхностью.
Из уравнения 2.14 видно, что для однородной
несжимаемой жидкости, находящейся в
состоянии равновесия под действием
силы тяжести, уравнением поверхности
является
,
т. е. горизонтальная плоскость.
Изобарическую поверхность, давление
на которой равно атмосферному, называют
пьезометрической.
Если
жидкость имеет свободную поверхность,
на которой давление постоянное (например,
если жидкость, находящаяся в резервуаре,
граничит по этой поверхности с газом,
причем давление на поверхности контакта
можно считать постоянным), то из (2.14)
следует, что уравнение этой поверхности
есть
,
т.е. свободная поверхность является
плоскостью. Принимая эту поверхность
за
,
можно видеть, что
это давление на свободной поверхности.
Обозначая
глубину
горизонтального слоя жидкости под
свободной поверхностью
,
т.е. полагая
,
(рис. 2.3), имеем:
.
(2.15)
Рис. 2.3. Гидростатическое давление в сосуде
Формула
(2.15), называемая формулой
гидростатического распределения
давления,
читается так: столб
жидкости высотой
создает в своем основании дополнительное
давление
.
Закон Паскаля
Если давление в какой-либо точке покоящейся несжимаемой жидкости изменить на некоторую величину, то на такую же величину изменится давление в любой другой точке жидкости. Это утверждение, читаемое как давление передается одинаково во все стороны, составляет сущность закона Паскаля.
Рассмотрим две точки А и В в покоящейся жидкости (рис. 2.4).
Рис. 2.4. К выводу закона Паскаля
Из уравнения (2.15) имеем:
Отсюда
следует, что давления
и
связаны равенством
.
Пусть
теперь давление в точке А
изменили на величину
,
так что
,
тогда давление в точке В также изменится:
или
Таким
образом, давление в точке В
изменилось на ту же самую величину
,
что и в точке
,
как и утверждает закон Паскаля.
В качестве наглядной иллюстрации этого закона укажем на всем известный опыт Торричелли с бочкой (рис. 2.5).
Рис. 2.5. Схема опыта Торичелли
Если сверху в бочку вставить длинную трубку и залить ее водой, то бочка разрыватся. Давление в точке, в которую подведена трубка, повышается; на ту же величину повышается давление и в остальных точках жидкости, и бочка разрывается.