- •Предисловие
- •1. Основы механики сплошной среды…..8
- •1. Основы механики сплошной среды
- •1.1. Строение реальных сред и допущение о сплошности
- •1.2. Основные определения сплошной среды
- •1.3. Метод Лагранжа и метод Эйлера
- •1.4. Установившееся движение сплошной среды
- •1.5. Закон сохранения массы. Уравнение неразрывности
- •1.6. Силы, действующие на частицы сплошной среды
- •1.7. Напряжения в сплошной среде
- •Теорема о представлении вектора напряжений на произвольной площадке через векторы напряжения на трех взаимно перпендикулярных (базисных) площадках
- •Компоненты напряжений. Касательные и нормальные напряжения
- •1.8. Уравнения движения сплошной среды в напряжениях
- •1.9. Жидкость как частный случай сплошной среды
- •Давление в жидкости
- •Избыточное и вакуумметрическое давление
- •2. Жидкости. Гидростатика
- •2.1. Физические свойства жидкостей
- •Плотность жидкостей. Свойства сжимаемости и теплового расширения
- •Упругие жидкости
- •Жидкости с тепловым расширением
- •Несжимаемая жидкость
- •Вязкость жидкости
- •Идеальная жидкость
- •Давление насыщенных паров жидкости
- •Теплоемкость жидкостей
- •Теплопроводность жидкостей
- •2.2. Уравнения равновесия жидкости (уравнения Эйлера)
- •2.3. Распределение давления в покоящейся жидкости
- •Закон Паскаля
- •Пьезометрическая высота
- •Гидравлический пресс
- •2.4. Силы, действующие со стороны жидкости на элементы поверхности тел, погруженных в жидкость
- •2.5. Сила давления жидкости на плоскую стенку
- •2.6. Давление жидкости на криволинейную стенку
- •2.7. Относительный покой жидкости
- •Относительное равновесие жидкости в сосуде, вращающемся вокруг оси с постоянной угловой скоростью
- •0Тносительное равновесие жидкости в цистерне, движущейся с постоянным ускорением
- •3. Общие понятия кинематики и динамики жидкости
- •3.1. Линии тока и траектории частиц жидкости
- •3.2. Объемный, массовый и весовой расходы
- •3.3. Ламинарный и турбулентный режимы течения вязкой жидкости
- •Переход от ламинарного течения в трубе к турбулентному
- •Критическое число Рейнольдса
0Тносительное равновесие жидкости в цистерне, движущейся с постоянным ускорением
Рассмотрим цистерну, частично заполненную жидкостью и движущуюся по прямой с постоянным ускорением (рис. 2.20). Если систему отсчета связать с цистерной, то жидкость в такой системе будет находиться в относительном покое.
Рис. 2.20. Относительное равновесие жидкости в цистерне, движущейся с постоянным ускорением
В рассматриваемом случае компоненты вектора массовых сил и составляющие вектора переносного ускорения имеют вид:
Уравнения Эйлера (2.36), записанные в форме полного дифференциала, дают в рассматриваемом случае следующее выражение:
(2.44)
Интегрируя это уравнение, получаем:
, (2.45)
где постоянная интегрирования. Для того чтобы найти эту постоянную, предположим, что - какая-нибудь точка свободной поверхности жидкости в цистерне. Поскольку давление в этой точке известно и равно , то имеем:
.
Подставляя в (2.45), получаем формулу для распределения давления в цистерне:
. (2.46)
Поверхностями равного давления , в т.ч., и свободная поверхность жидкости, являются плоскости, уравнения которых имеют вид:
,
причем свободная поверхность жидкости имеет уравнение
. (2.47)
Отсюда видно, что свободная поверхность жидкости перпендикулярна вектору с координатами . Угол наклона этой плоскости к горизонту, определяется равенством
Пример 1. В открытом цилиндрическом сосуде радиуса м находится вода, уровень которой составляет м. С какой угловой скоростью должен вращаться этот сосуд вокруг своей вертикальной оси, чтобы свободная поверхность жидкости касалась дна?
Решение. Используя формулу (2.42), имеем:
.
Ответ: = 66 с-1.
Пример 2. Открытый цилиндрический сосуд радиуса м содержит л воды. В боковой поверхности сосуда на высоте м от дна имеется малое отверстие, закрытое пробкой. Найти максимальную угловую скорость, с которой может вращаться сосуд вокруг своей вертикальной оси, чтобы пробка, рассчитанная на перепад давлений не более Па, не вылетела из отверстия.
Решение. Используя формулу (2.39), имеем:
.
Отсюда находим давление на стенке сосуда на высоте от его дна:
.
Выразив , согласно (2.41), через объем жидкости в сосуде
,
и подставив найденное значение в предыдущее уравнение, получим:
,
где . Отсюда видно, что по мере увеличения угловой скорости вращения цилиндра увеличивается перепад давлений в рассматриваемой точке его стенки. Максимальная угловая скорость вращения цилиндра, при которой будет достигрут перепад давления, определится выражением
Подставив сюда численные данные, найдем:
.
Ответ: .
Пример 3. Определить угол наклона свободной поверхности нефти к горизонту при торможении железнодорожной цистерны, происходящим с постоянным ускорением м/с2.
Решение. Тангенс угла наклона к горизонту поверхности жидкости в цистерне определяется формулой
Отсюда находим:
.
Ответ: .