- •1.1.2. Означення статики
- •1.1.3. Механічні в’язі та їхні реакції
- •В’язь – гладенька поверхня
- •Гостре вістря або ребро
- •В’язь – шорстка поверхня
- •В’язь – невагома, нерозтяжна ідеальна нитка
- •В’язь – стержень
- •В’язь – нерухома шарнірна опора
- •В’язь – жорстке защемлення (заробка)
- •1.1.4. Аксіоми про в’язі та їхні реакції
- •1.1.5. Класифікація сил. Метод перерізів
- •1.1.6. Теорема про рівновагу трьох непаралельних сил, прикладених до твердого тіла
- •1.1.7. Сили тертя ковзання і їхні властивості
- •1.2. Основні властивості систем сил, прикладених до абсолютно твердого тіла
- •1.2.1. Аналітичне визначення ковзного вектора.
- •1.2.2. Система збіжних сил. Умови рівноваги
- •1.2.3. Аналітичне визначення ковзного вектора рівнодійної системи двох паралельних сил. Центр паралельних сил
- •1.2.4. Пара сил. Момент пари сил. Властивості пар сил
- •1.3. Перетворення систем сил. Умови рівноваги
- •1.3.1. Аналітичне визначення головного вектора і головного моменту системи сил
- •1.3.2. Умови рівноваги вільного твердого тіла
- •1.3.3. Зведення систем сил до найпростішого вигляду. Інваріанти системи сил відносно центра зведення
- •2. Якщо ; , то система сил зводиться до пари сил.
- •3. Якщо і – система зрівноважується.
- •1.3.4. Центр паралельних сил і центр ваги
1.3. Перетворення систем сил. Умови рівноваги
1.3.1. Аналітичне визначення головного вектора і головного моменту системи сил
Згідно з методом геометричного дослідження питань статики (методом Пуансо) покажемо, що довільну систему сил можна звести до однієї сили і однієї пари.
Цю силу називають головним вектором системи сил, а момент пари – головним моментом.
Припустимо, що на тіло діє система сил , , ... (рис. 1.21). Виберемо в тілі довільну точку – центр зведення – і прикладатимемо в ній зрівноважені системи сил, тобто по дві сили, однакові за модулем і рівні , , ... , і протилежно напрямлені, лінії дії яких паралельні відповідно силам , , ... .
Рисунок 1.21
Кожна сила з відповідною , яка прикладена в центрі , утворюють пару сил з моментом , яку називають приєднаною парою. Крім того, є ще система сил , , ... , прикладена в точці . Геометричну суму цих сил називають головним вектором системи сил:
. (1.34)
Векторну суму моментів приєднаних пар сил називають головним моментом відносно центра зведення О:
. (1.35)
У системі декартових прямокутних координат з початком у центрі зведення головний вектор і головний момент мають такі проекції:
; ; . (1.36)
;
; (1.37)
,
де – проекції сили ; – координати точки прикладання сили .
Знаючи компоненти і , завжди можна знайти модулі та напрямні косинуси відповідно векторів і . Наприклад, модуль головного вектора дорівнює:
,
а його напрямні косинуси відповідно рівні:
; ; .
1.3.2. Умови рівноваги вільного твердого тіла
Оскільки довільна система сил, прикладена до твердого тіла, еквівалентна головному вектору і головному моменту, то
механічні умови рівноваги тіла полягають у рівності нулеві головного вектора і головного моменту системи сил:
; . (1.38)
Згідно з виразами (1.36) і (1.37) на підставі (1.38) дістаємо
шість аналітичних умов рівноваги твердого тіла під дією довільної системи сил:
; ; ; (1.39)
(1.40)
Умови (1.39) і (1.40) є наслідками з механічних умов рівноваги і формулюється так:
абсолютно тверде тіло перебуває у рівновазі лише тоді, коли алгебраїчні суми проекцій усіх сил на координатні осі й алгебраїчні суми моментів усіх сил відносно координатних осей дорівнюють нулеві.
Таким чином, умови (1.39) і (1 40) дають шість рівнянь рівноваги вільного твердого тіла під дією довільної просторової системи сил.
На підставі виразів (1.39) і (1.40) дістанемо рівняння рівноваги вільного твердого тіла, яке перебуває під дією довільної системи сил на площині.
Припустимо, що ця система сил лежить на площині . Тоді всі координати точок прикладання сил дорівнюють нулеві, проекції усіх сил також тотожно дорівнюють нулеві. Із шести рівнянь рівноваги (1.39) і (1.40) три тотожно дорівнюють нулеві. Залишилося три рівняння рівноваги:
; ;
. (1.41)
Останнє рівняння (1.41) можна розглядати, з одного боку, як алгебраїчну суму моментів сил відносно осі , перпендикулярної до площини , а з другого – як суму моментів усіх сил відносно початку координат, тобто відносно довільної точки площини , у якій розміщено сили.
Зауваження. Рівняння рівноваги (1.41) можна скласти в інших формах.
Не зупиняючись на доведенні умов достатності вказаних способів, наведемо ці форми рівнянь рівноваги.
Якщо вважати рівняння рівноваги у вигляді (1.41) першим варіантом, то другий варіант рівнянь полягатиме у рівності нулеві однієї суми проекції сил на будь-яку вісь, наприклад, на вісь і суми моментів сил відносно двох точок площини:
(1.42)
(умови достатності виконуються у випадку, коли не перпендикулярна до ).
Третій варіант полягає у рівності нулеві сум моментів сил відносно трьох точок площини:
; ; . (1.43)
(точки не лежать на одній прямій).
Якщо на тіло діє просторова система паралельних сил, то, припустивши, що сили паралельні осі , з (1.39)дістанемо
, (1.44)
бо перші два рівняння виконуються тотожно, оскільки , . З умов (1.40) залишаються такі:
; . (1.45)
Отже,
довільна система паралельних сил зрівноважується, якщо алгебраїчна сума проекцій сил на вісь, паралельну їхнім лініям дії, і алгебраїчні суми моментів сил відносно двох інших осей дорівнюють нулеві.
Приклади
Приклад 1.3. На балку діють сили Н, Н і пара сил з моментом Нм (рис. 1.22). Нехтуючи вагою балки і тертям, знайти реакції опор.
Розв’язання.
1. Як згадувалося раніше, спочатку треба виділити тіло, рівновагу якого розглядаємо. Таким тілом є балка .
2. Аналізуємо сили. На балку діють сили і і пара сил з моментом На підставі аксіоми про звільнення від в’язей, відкинемо всі в’язі – нерухому і рухому опори – і їхню дію позначаємо відповідними реакціями: реакція рухомого шарніра В напрямлена перпендикулярно до похилої площини, тому що тертя відсутнє; реакція нерухомого шарніра невідома як за модулем, так і за напрямом, тому подамо її у вигляді двох невідомих проекцій, кожна з яких напрямлена у додатний бік відповідної осі координат з початком у точці (рис. 1.22, б), тобто .
а
б
Рисунок 1.22
На балку діє довільна система сил, розміщена на площині , до складу якої входять три невідомі сили (скалярні величини): . Для такої системи можна скласти три рівняння рівноваги. Отже, задача статично визначена.
3. Складемо рівняння рівноваги у вигляді (1.41):
У третьому рівнянні центр моментів взято у точці . Моменти сил і відносно точки дорівнюють нулеві, і рівняння рівноваги містить тільки одне невідоме .
4. Розв’язуючи систему рівнянь рівноваги, дістанемо
5. Аналізуючи розв’язок задачі (здобуті значення , і ), зауважимо, що всі вони додатні, тому мають ті самі напрямки, які показано на рис. 1.22, б. Реакція нерухомої опори
кН.
Приклад 1.4. На вертикальну балку , яка жорстко закріплена в точці , діє навантаження, розподілене за законом трикутника, з максимальним значенням інтенсивності 3 кН/м (рис. 1.23, а), а на похилу балку , яка в точці закріплена за допомогою нерухомого шарніра і вільно спирається на в точці , діє сила кН, яка напрямлена перпендикулярно до балки , м; м; м.
Нехтуючи вагою конструкції, знайти реакції опор і , а також силу взаємодії у точці між балками і .
Розв’язання. Насамперед треба замінити розподілене навантаження зосередженою силою , яка еквівалентна навантаженню і прикладена в центрі ваги цього навантаження. За модулем сила дорівнює площі трикутника навантаження
=18 кН.
Лінія дії сили горизонтальна і віддалена від на , тобто на 4 м.
|
|
а |
б |
в
Рисунок 1.23
Отже, на конструкцію діють сили і .
Оскільки сила тиску між балками є внутрішньою силою відносно системи з двох балок, то для її знаходження треба провести переріз між балками, і одну з них розглядати як в’язь.
Розглянемо, наприклад, балку . Реакцію нерухомого шарніра розкладаємо на і , реакція балки на балку напрямлена перпендикулярно до , оскільки балки спираються вільно (без тертя, рис. 1.23, б).
Складаємо три рівняння рівноваги:
З цієї системи знаходимо:
кН; кН;
кН.
Від’ємний знак свідчить, що проекція напрямлена у від’ємний бік осі .
Тепер розглянемо балку . У точці N( м) діє сила ; відповідно до третього закону І. Ньютона в точ- ці до балки прикладена сила , яка дорівнює , але протилежно їй напрямлена (рис. 1.25, в).
Звільнимо балку від в’язей. Реакція жорсткого закріплення складається з двох невідомих складових і , які напрямлені вздовж осей координат, і моменту пари сил, що виникає внаслідок дії сил опору підлоги, розподілених вздовж зануреного у підлогу кінця балки.
Задача визначення , і також статично визначена.
Складаємо рівняння рівноваги:
Звідси
кН;
кНм.
Приклад 1.5. Однорідний стержень завдовжки 0,4 м спирається кінцем на шорстку стінку і підтримується у рівновазі за допомогою невагомого мотузка (рис. 1.24). Визначити коефіцієнт статичного тертя між стінкою і кінцем стержня, якщо м, м, а найменший кут при рівновазі стержня дорівнює 45.
Розв’язання. Розглядаючи рівновагу стержня , прикладаємо до нього силу ваги і, звільняючи його від в’язей, реакції: натяг мотузка в точці , напрямлений від до , а також дві складові реакції стіни: – нормальну реакцію і – статичну силу тертя ковзання. Сила тертя напрямлена вниз, оскільки, якщо стержень не буде в рівновазі, то його кінець стане рухатися вгору, оскільки – найменший кут при рівновазі стержня.
Рисунок 1.24
На балку діє система сил на площині (три невідомі сили , і ). Задача статично визначена.
Початок системи координат вибираємо в точці .
Складаємо рівняння рівноваги:
Згідно з (1.1.7) , і з другого рівняння знаходимо
і далі
.
Натяг знаходимо з третього рівняння.
Остаточно
.
Приклад 1.6. Однорідна прямокутна полиця вагою 100 Н утримується в горизонтальному положенні за допомогою сферичного шарніра , завіси і невагомого мотузка , який утворює з вертикаллю кут 60 (рис. 1.25). Знайти реакції в’язей, якщо м, м.
Розв’язання. Розглянемо рівновагу . Активною силою є вага полиці, яка прикладена у її геометричному центрі . В’язі: сферичний шарнір , завіса і мотузок . Реакцію сферичного шарніра розкладаємо на три невідомі складові, напрямлені вздовж додатних напрямів осей координат. Реакція завіси лежить у площині, яка перпендикулярна до осі завіси, оскільки завіса не чинить опору пересуванню вздовж її осі. Отже, розкладаємо на складові, паралельні осям і : і .
Рисунок 1.25
Натяг мотузка напрямлений вздовж . У задачі шість невідомих складових сил. Система сил просторова, тому можемо скласти шість рівнянь рівноваги:
Після розв’язання цієї системи знаходимо:
Н; Н; Н;
Н; .