1.2.3. Аналітичне визначення ковзного вектора рівнодійної системи двох паралельних сил. Центр паралельних сил
Розглянемо дві паралельні сили і , різні за модулем і протилежні за напрямом (рис. 1.19).
Покажемо, що така система сил зводиться до рівнодійної.
З’єднаємо
точки
і
прикладання сил
і
і додамо до них зрівноважену систему
сил
і
,
лінії дії яких збігаються з відрізком
,
а модулі довільні. Згідно з означеннями
1-3 § 1.1.1 рух тіла при цьому не зміниться.
Первісна
система сил
і
зведена до двох сил
і
,
які вже не є паралельними. Їхні лінії
дії перетинаються у певній точці
.
Рисунок 1.19
Таким чином, система паралельних сил і зведена до збіжної системи, яка має рівнодійну, що аналітично визначається ковзним вектором
. (1.23)
Згідно з означенням (§ 1.1.1) запишемо вираз моменту рівнодійної
.
(1.24)
Оскільки
радіус-вектор
дорівнює сумі двох векторів:
,
(1.25)
то вираз (1.24) набуває вигляду
.(1.26)
Отже,
.
(1.27)
Цей результат справджується також для сил, які мають однакові напрями.
Для системи паралельних сил і знайдемо їх рівнодійну і відшукаємо точку перетину її лінії дії з продовженням відрізка (рис. 1.20).
Рисунок 1.20
Точку
називають центром паралельних сил
і
.
Можна
легко переконатися, що точка
не змінить свого положення, якщо обидві
сили
і
повернути разом на однаковий кут, не
змінюючи при цьому положення точок їх
прикладання
і
.
Легко також зрозуміти, що поняття центра
паралельних сил можна поширити на три,
чотири і більше паралельних сил.
Отже,
центром паралельних сил називають точку прикладання їхньої рівнодійної, яка не змінює свого положення, якщо всі сили повернути одночасно на той самий кут, не змінюючи при цьому точок прикладання сил.
1.2.4. Пара сил. Момент пари сил. Властивості пар сил
Припустимо, що
.
(1.28)
Система паралельних сил і перетворюється на пару сил.
Парою сил називають систему двох паралельних сил, що мають однакові модулі і протилежні за напрямом.
Яким би способом не здійснювався граничний перехід (1.28), вважаємо, що на кожному етапі змінювання векторів і існує ковзний вектор їхньої рівнодійної, тобто граничне значення вектора
(1.29)
повністю характеризує пару сил.
У
(1.29)
і
.
Момент
пари
(1.30)
не треба позначати індексом “О”, тому що він не залежить від вибору центра . Справді, (1.30) не зміниться, якщо центр вибрати в іншій точці простору.
Таким чином,
система
двох паралельних, рівних за модулем і
протилежно напрямлених сил повністю
визначається на підставі (1.29) моментом
,
який не залежить від вибору
,
тобто є вільним вектором.
Пара
сил не має рівнодійної. Дійсно, якщо
існує граничний перехід
,
то точка
прямує у нескінченність (рис. 1.20), тобто
нескінченно мала рівнодійна прикладається
до нескінченно віддаленої від тіла
точки, а таке поняття практично не можна
реалізувати.
Модуль
моменту
пари сил
.
(1.31)
Величина
дорівнює найкоротшій відстані
між лініями дії сил, що утворюють пару:
.
Цю відстань називають плечем пари сил.
Момент пари сил характеризується скалярною величиною, яка дорівнює добутку сили на плече:
.
(1.32)
Момент пари додатний, якщо пара сил надає тілу обертання у напрямі проти руху годинникової стрілки.
Усі властивості пари сил випливають як наслідок із твердження, що момент пари є вільним вектором, який повністю характеризує пару сил.
Перелічимо ці властивості.
Не змінюючи дії пари сил на тверде тіло можна:
а) переносити пару сил із площини її дії в паралельну площину;
б) розмістити пару сил у площині як завгодно;
в) змінювати модулі сили й плеча пари, але так, щоб момент пари не змінювався.
Зауважимо, що пари сил з однаковими моментами називають еквівалентними.
Оскільки момент пари сил повністю характеризує її властивості, то звідси випливає правило додавання пар сил:
систему пар сил, розміщених у просторі як завгодно, можна замінити рівнодійною парою, момент якої дорівнює векторній сумі моментів складових пар.
Зокрема,
система пар сил, що діє на абсолютно тверде тіло, зрівноважується, якщо момент рівнодійної пари дорівнює нулеві:
.
(1.33)
При цьому багатокутник моментів замкнений.