Вступ

Механіка – це природнича наука, яка вивчає найпростіші рухи матерії – механічні.

Найпростіші форми рухів – це прості переходи фізичних тіл з одного положення у просторі і часі в інше, тому механіка є однією з природничих наук.

Вивчаючи найзагальніші властивості рухів, механіка не враховує більшість конкретних властивостей фізичних тіл. Вона спирається лише на первісні властивості речовин; такі, як її протяжність і властивість частинок тяжіти одна до одної, тобто мати певну вагу. Зрозуміло, що в механіці користуються низкою спрощених (абстрактних) уявлень. В її основу покладено такі поняття, як матеріальна точка, система матеріальних точок та абсолютно тверде тіло.

Поняття про матеріальну точку є однією з граничних абстракцій, яка виникла внаслідок спостережень за рухами тіл скінченних розмірів.

Матеріальною точкою називають тіло, розмірами якого можна знехтувати при розв’язанні певних задач механіки.

Системою матеріальних точок називають сукупність матеріальних точок, рухи й положення яких взаємопов’язані. Незмінною системою матеріальних точок називають систему, точки якої не змінюють взаємного положення протягом часу.

Якщо точки суцільно заповнюють частину простору, який займає незмінна матеріальна система, то останню називають абсолютно твердим тілом.

Основна властивість абсолютно твердого тіла полягає у незмінності відстані між будь-якими двома точками під час руху.

Поняття про абсолютно тверде тіло є граничною абстракцією.

Таким чином,

теоретичною механікою називають ту частину загальної механіки, яка вивчає рух матеріальних точок, систем матеріальних точок та абсолютно твердих тіл.

Розглядаючи граничні абстракції, теоретична механіка вивчає найзагальніші закони механіки, які справедливі для всієї механіки.

Теоретична механіка побудована за планом точних наук: в її основі лежить система означень та аксіом, на які, в свою чергу, спираються доведення теорем.

РОЗДІЛ 1

ГЕОМЕТРИЧНА СТАТИКА

1.1. Основні поняття та закони

1.1.1. Рух матеріальної точки. Перший закон Ньютона.

Основні властивості механічних сил

Основні поняття класичної механіки вперше були сформульовані І. Ньютоном, який розглядав рух вільної матеріальної точки, тобто такої, на рух якої заздалегідь не накладені будь-які обмеження, які не залежать від подальшого закону руху.

Перший закон І. Ньютона (закон інерції) стверджує, що ізольована матеріальна точка зберігає стан рівномірного і прямолінійного руху або перебуває у стані спокою відносно системи координат, яка рухається поступально, рівномірно і прямолінійно.

Вважається, що ця система координат рухається відносно нерухомої системи координат. Наявність абсолютно нерухомої системи координат є однією з основ, на якій ґрунтується класична механіка.

Якщо рух точки відрізняється від рівномірного і прямолінійного, то це означає, що на точку діють будь-які зовнішні фактори.

Причину, внаслідок якої матеріальна точка змінює свій рух, називають механічною силою.

Переважна більшість рухів точок на Землі відрізняється від рівномірного й прямолінійного. Тому поняття ізольованої матеріальної точки є граничною абстракцією. Точки матеріальної системи завжди перебувають під взаємним впливом. Якщо будь-який рух переноситься з одного тіла на інше, то він активний і його можна розглядати як причину руху.

Отже, механічна сила є рух, який у механічній формі передається від одного тіла до іншого при їхній взаємодії.

Кожна сила має величину, напрям у просторі і точку прикладання.

Поняття механічної сили стійко прижилося в процесі еволюції науки, оскільки механічну силу можна кількісно виміряти й записати як функцію часу, координат точок простору та їхніх похідних за часом, тобто знайти її аналітичне визначення.

Сили зображають напрямленими відрізками прямих. Пряму, вздовж якої відкладають відрізок, що зображає силу, називають лінією дії сили.

Сформулюємо основні означення та аксіоми щодо механічних сил.

Означення 1. Зрівноваженою системою сил, або системою, еквівалентною нулеві, називають таку, під дією якої точка рухається рівномірно і прямолінійно або перебуває у стані спокою.

Означення 2. Матеріальна точка знаходиться у стані статичної рівноваги, якщо вона перебуває під дією зрівноваженої системи сил.

Означення 3. Матеріальна система знаходиться у стані статичної рівноваги, якщо кожна її точка перебуває у стані рівноваги.

Відповідно до цих означень зауважимо, що рух матеріальної системи не зміниться, якщо до її точок прикладати або від неї віднімати зрівноважену систему сил.

Означення 4. Дві системи сил називають статично еквівалентними, якщо кожна з них окремо зрівноважує одну й ту саму третю систему сил.

Означення 5. Рівнодійною системи сил називають силу, еквівалентну системі сил. Силу, що зрівноважує систему сил, називають зрівноважуючою.

І. Ньютон у додаткових зауваженнях до основних законів механіки аксіоматично сформулював правило паралелограма сил, яке дістало назву аксіоми про паралелограм сил.

Якщо на матеріальну точку діють дві сили, то їхню дію можна замінити дією однієї сили – їм рівнодійної, яка визначається діагоналлю паралелограма, побудованого на цих силах.

Ця аксіома формулює правило векторного додавання сил.

Відтепер можна вважати механічні сили векторами.

У механіці розглядають вектори трьох типів: означені, або прикладені, ковзні та вільні.

Означений вектор, наприклад, вектор сили, що діє на точку, характеризується трьома його проекціями на всі осі координат і координатами точки його прикладання, тобто шістьма параметрами.

Ковзний вектор можна переносити вздовж лінії його дії. Тому він визначається п’ятьма параметрами, оскільки три координати точки прикладання вектора зв’язані системою двох рівнянь, які визначають лінію дії вектора у просторі.

Нарешті, для визначення вільного вектора потрібно знати лише три його проекції.

Аксіома про абсолютно тверде тіло.

Якщо тверде тіло перебуває у рівновазі під дією двох сил, то ці сили протилежні за напрямом, однакові за величиною і мають спільну лінію дії.

Зрівноважену систему сил і , яка діє на абсолютно тверде тіло, зображено на рис. 1.1.

Теорема. Стан механічного руху тіла не зміниться, якщо силу перемістити вздовж лінії її дії у будь-яку точку.

^* Нехай на тіло (рис. 1.2) діє сила , прикладена в точці . Стан механічного руху тіла не зміниться, якщо в довільній точці , розташованій на лінії дії сили , прикласти зрівноважену систему сил і (модулі сил однакові і дорівнюють модулю сили, прикладеної в точці ). На підставі попередніх означень та аксіоми про абсолютно тверде тіло можна вважати силу , прикладену в точці , і , прикладену в точці , зрівноваженими і відкинути; залишилася сила , прикладена в точці .

Рисунок 1.1

Рисунок 1.2

Отже, на підставі доведеної теореми, вектор сили, прикладеної до абсолютно твердого тіла, можна вважати ковзним.

1.1.2. Означення статики

Поставимо за мету встановити властивості систем сил, прикладених до абсолютно твердих тіл. Такі властивості вивчає окремий розділ механіки, який дістав назву статики. Зауважимо, що ми не розглядаємо властивостей рухів, які спричиняються цими силами.

Статика вивчає перетворення системи сил, прикладених до твердих тіл. Внаслідок цього перетворення вихідна система сил замінюється іншою, статично еквівалентною першій.

Статика вивчає також умови рівноваги тіл, які перебувають під дією певної системи сил. Отже, статика вивчає умови рівноваги систем сил як окремий випадок перетворення цих систем.

1.1.3. Механічні в’язі та їхні реакції

Розглянемо систему матеріальних точок. Якщо їхні рухи заздалегідь нічим не обмежені, то систему називають вільною. Якщо існують заздалегідь означені геометричні або кінематичні обмеження рухів точок системи, то її називають невільною. Наприклад, кожний механізм, рух точок якого геометрично обмежений, є невільною системою.

Тіла, які обмежують рухи точок матеріальної системи, називають в’язями.

Зауважимо, що тут йдеться лише про так звані фізичні в’язі.

Наявність в’язей змінює рух системи матеріальних точок. Вони відхиляють систему від рухів вільної системи, тобто в’язі є матеріальні джерела певних сил (реакцій в’язей), які прикладені до точок або тіл, що входять до системи.

Реакціями в’язей називають сили, що діють з боку в’язей на систему, рух якої вивчаємо.

Часто рух певного твердого тіла обмежений наявністю якогось іншого тіла. Це обмеження зумовлено властивістю матерії (речовини), яку називають непроникністю. Тому реакція в’язі спрямована в той бік простору, який вільний від речовини в’язі. Якщо розкласти реакцію на складові: нормальну і дотичну до поверхонь в’язі та тіла, то зумовлена деякими фізичними особливостями тіл, а саме шорсткістю їхніх поверхонь. Тому дотичну складову називають силою тертя .

Розглянемо деякі приклади фізичних в’язей та їхні реакції.

При визначенні напряму реакцій в’язей будемо виходити з наступних положень:

по-перше, реакція кожної в’язі повинна бути прикладена до об’єкта в точці, у якій ця в’язь контактує з ним і виключає які-небудь переміщення;

по-друге, реакція в’язі повинна бути спрямована в бік протилежний тому напряму, по якому в’язь перешкоджає переміщенню з розглянутого положення згаданої вище точки об’єкта.

В’язь – гладенька поверхня

Поверхню називають гладенькою, якщо відсутнє тертя. Така в’язь перешкоджає точці А об’єкта переміщатися по нормалі вглиб поверхні в’язі. Тому реакція в’язі буде спрямована по цій нормалі в бік тіла.

Гостре вістря або ребро

У тому випадку, коли об’єкт спирається на гостре вістря або ребро двогранного кута, реакція в’язі буде спрямована по нормалі до поверхні об’єкта в бік тіла.

Для розглянутих випадків можна сформулювати загальне правило:

реакція гладенької поверхні або точкової опори (ребро, вістря) спрямована по загальній нормалі до поверхонь тіла і в’язі в точці їхнього дотику.