1.2. Основні властивості систем сил, прикладених до абсолютно твердого тіла

1.2.1. Аналітичне визначення ковзного вектора.

Момент сили відносно точки і осі

Розглянемо ковзний вектор сили , прикладений до абсолютно твердого тіла (рис. 1.12) у довільній точці . Проведемо з певного центра радіус-вектор точки А. Візьмемо на лінії дії сили іншу довільну точку В і проведемо її радіус-вектор з того самого центра .

Рисунок 1.12

Оскільки вектори і паралельні (колінеарні), то їх векторний добуток дорівнює нуль-вектору (нулю):

^* . (1.9)

Якщо в (1.9) підставити значення вектора , що очевидно з рис. 1.12, то маємо рівність

,

звідки

. (1.10)

Це свідчить про те, що векторний добуток не залежить від положення точки на лінії дії сили .

На підставі цього твердження вважаємо вираз однією з аналітичних ознак ковзного вектора сили, прикладеної до твердого тіла.

Цей вираз, який позначається , називають моментом сили відносно центра . Отже,

. (1.11)

Вважаємо вектор прикладеним у точці . Цей вектор перпендикулярний до площини, в якій лежать вектор сили і точка , тобто скалярний добуток векторів і дорівнює нулеві:

. (1.12)

Введемо особливе позначення вектора сили, прикладеного до твердого тіла. Цей вектор аналітично визначається трьома компонентами (проекціями) сили і трьома проекціями вектора на осі координат:

. (1.13)

Серед указаних шести компонент вектора тільки п’ять незалежні відповідно до (1.12).

Модуль вектора , як модуль векторного добутку (1.11),

.

Тут і надалі позначатимемо модулі векторів так, як і вектори, але без стрілок над літерами.

Величину – найкоротшу відстань від точки до лінії дії сили називають плечем сили відносно точки О. Отже,

, (1.14)

тобто модуль моменту дорівнює добутку сили на плече.

У правій системі координат вектор напрямлений у бік спостерігача, який бачить, що сила намага-ється повернути тіло навколо точки проти руху годинникової стрілки. При цьому величину моменту вважаємо додатною.

Момент від’ємний, якщо сила намагається повернути тіло навколо точки у напрямі руху годинникової стрілки

Проекції вектора на координатні осі

;

; (1.15)

,

де – проекції радіуса-вектора (початок координат вибрано у точці ); – проекції вектора сили на координатні осі.

У лівих частинах і перших доданках правих частин виразів (1.15) індекси виконують циклічну перестановку

Зосередимо увагу на одному з виразів (1.15), наприклад, на проекції на вісь :

. (1.16)

До його правої частини не входить координата точки А прикладання сил (рис. 1.13), і тому цей вираз залежить не від положення точки , а тільки від взаємного розташування сили і в цілому осі у просторі. Про інші вирази (1.15) можна сказати те саме.

Тому проекції , , називають моментами сили відносно осей координат відповідно , , .

Рисунок 1.13

Розглянемо проекцію сили на площину і вважатимемо її вектором. Знайдемо моменти відносно осей координат за формулами (1.15)

, , . (1.17)

Порівнюючи (1.16) і (1.17), доходимо висновку, що моменти цих двох сил відносно осі однакові.

На підставі цього формулюємо робоче правило обчислення моменту сили відносно осі:

щоб обчислити момент сили відносно осі, треба спроектувати силу на площину, яка перпендикулярна до осі, і, розглядаючи проекцію як вектор, знайти її момент відносно точки перетину осі та площини.

Момент сили відносно осі додатний, якщо, спостерігаючи з додатного напряму осі, бачимо, що сила намагається повернути тіло навколо осі проти руху годинникової стрілки. Якщо напрям обертання тіла збігається з напрямом руху годинникової стрілки, то момент сили від’ємний.

Перпендикуляр , проведений з точки до лінії дії сиди , називатимемо плечем сили відносно осі .

З формулювання робочого правила випливає, що момент сили відносно осі дорівнює нулеві, якщо сила і вісь лежать в одній площині.