15. Економіко-математичні моделі. Описові – оптимізаційні, регресійні та інші. Приклади економіко-математичних моделей. Види оптимізаційних моделей та їх приклади

Економіко-математична м. - концентрований вираз всіх суттєвих взаємозв'язків та закономірностей процесу функціонування економічної системи у математизованій формі.В цілому математичні моделі можна в грубому наближенні розділити на два класи - аналітичні та імітаційні.

Метою розробки і застосування економіко-математичних моделей є підвищення якості планування (керування), яке забезпечується оптимізацією та збалансованістю розрахунків.Відповідно аналітичні моделі можна розглядати як описові (балансові) та оптимізаційні. До описових можна віднести: класичну модель ринку Дж.Кейнса, модель "затрати-випуск" Леонтьєва, динамічна модель економічного росту фон Неймана, модель конкурентної економіки Ерроу-Дебре-Мак-Кензі, модель економічного зростання Солоу, виробничі функції (Коба-Дугласа, СЕS, Гутенберга, Хайнека).Кореляційні моделі описують статистичні взаємозв'язки в економічних процесах, встановлюють різні нормативи, наприклад трудових, вартісних, по затратах матеріалів або інших ресурсів. Оптимізаційні моделі. Розглянемо класифікацію методів економіко-математичного мод-ня по складності математичного апарату.Найбільш повно розроблено і найчастіше застосовуються моделі, що дозволяють знаходити оптимальні керуючі рішення, це моделі математичного програмування.Математична модель записується у вигляді: визначити вектор який оптимізує функції при обмеженнях Види опт. моделей:

Математичне програмування: 1)лінійне програмув: задачі оперативно-календарного планування, технічної підготовки виробництва (оптимальний розкрій матеріалів, задача про дієту, виробничі суміші і т.д), транспортні задачі, деякі задачі техніко-економічного планування (визначення оптимальної виробничої програми і ін.).2)нелінійне програмування.Моделі, в яких показник якості рішення (f) або хоч деякі з функцій gi нелінійні, відносяться до нелінійного програмування: яке в свою чергу підрозділяється на випукле та невипукле. В теорії випуклого програмування детальніше інших розроблено моделі квадратичного програмування (цільова функція має квадратичний характер), які виділено в окрему групу.Непогано розроблено, в рамках випуклого програмування, також так зване геометричне програмування, в якому f та gi є лінійною комбінацією спеціальних функцій (позіномів).Моделі математичного програмування, в яких змінні у рівняннях по своєму фізичному змісту можуть приймати лише обмежену кількість дискретних значень складають дискретне програмування.Моделі з допомогою яких розв'язуються умовно-екстримальні задачі при наявності випадкових параметрів в їх умовах, називаються моделями стохастичного програмування.До математичного програмування відносять також і динамічне. З допомогою моделі динамічного програмування можна визначити оптимальне рішення в умовах, коли на кінцевий результат впливає рішення попереднього етапу, а на нього в свою чергу результат рішення ще на попередньому кроці і т.д. прикладом такого типу задач може служити: вибір політики заміни обладнання, оптимальний розподіл амортизаційних відчислень на заміну устаткування та його відновлення, визначення оптимальних умов розширеного виробництва і т.ін.В процесі оптимізації управлінських рішень широко застосовуються також моделі, які базуються на математичній теорії графіків. До таких моделей можна віднести, наприклад, сітьове планування, яке використовується як на стадії оптимізації рішень так і при організації їх виконання, тобто, можна сказати, є наскрізними моделями оскільки використовуються на всіх етапах вироблення та реалізації рішень.

Перечислена група оптимізаційних моделей відноситься до детерміністичних. Другу велику групу економіко-математичних моделей, що застосовуються при оптимізації керуючих рішень, складають стохастичні моделі. До них відносяться: моделі теорії масового обслуговування в яких встановлюється оптимальне поєднання між розмірами основного і допоміжного виробництв і окремими частинами в середині кожного з них, якщо ці процеси мають елементи нерегулярності і можуть бути представлені як масове обслуговування;Моделі теорії надійності - з допомогою яких розв'язуються проблеми надійності та довговічності устаткування, підвищення якості продукції та праці; Моделі теорії запасів(для визначення оптимальних розмірів оборотних фондів на підприємстві, розв'язуються деякі задачі оперативно-календарного планування в серійному і масовому виробництві, визначаються стратегії оптимальних запасів); Моделі теорії ігор та теорії статестичних рішень(управління процесами взаємовідношення підприємства з ринком, страхуванням від стихійних лих, створенням сезонних запасів сировини та матеріалів); Моделі теорії інформації(вдосконалюються інформаційні потоки при керуванні, розв'язку задачпошуку та оптимального зберігання інформації та інше);Моделі теорії розкладу (задачі визначення раціональної послідовності виконання операцій у виробництві, встановлення оптимальної тривалості виробничого циклу вибору).

16. Виникнення, застосування та види міжгалузевих балансових моделей. Суть балансових моделей та їх розробка та застосування в різних країнах. Статичні і динамічні моделі (по часу, модель Неймана, модель Канторовича). Моделі з прямою та зворотною рекурсією.

Ідею побудови балансових моделей вперше висловив Ф.Кене, який дав схему економічного відтворення.Вперше МБМ в сучасному розумінні була побудована в Радянському Союзі ще в двадцятих роках минулого століття і була зроблена спроба провести аналіз структурних взаємозв'язків розвитку народного господарства.Через десять років ідея сучасного міжгалузевого балансу чітко сформулював, обґрунтував та застосував американський вчений В.Леонтьєв, за що одерж. Нобелівську премію. Ці моделі були складені більш як в 54 країнах, найбільше їх застосов.у Радянському Союзі, США та Великобр. Найбільш відомою такою моделлю економіки США є так звана мерілендська модель,модель середньострокового планування е-го розвитку (на 5р.) у Франції.Конструктивна особливість цієї моделі полягає в тому, що вона об'єднює звичайні рівняння МБ з економетричними рівняннямиШироке заст-я отримав метод побудови міжгалузевого балансу в країнах що розвиваються. Ознакою міжгалузевих балансових моделей є співвідношеня "витрати-випуск" у формі матриць міжгалузевого балансу, де кожен вид продукції представлений тільки одним виробничим способом, а кожним способом випускається тільки один Серед балансових моделей чітко розрізняються статичні та динамічні моделі. В свою чергу можна виділити так звані звітні балансові моделі та планові. Складнішими і досконалішими можна вважати динамічні балансові моделі, які описують економіку в збалансованому розвитку. Серед них зокрема належить відзначити класичну модель Неймана, оптимізаційну динамічну модель Канторовича. Динамічні моделі умовно поділяються на коротк-ві, середньостр-ві (5-10 р) і довгості-ві (10 і більше р).Серед динамічних балансових моделей виділяють: моделі з прямою рекурсією.Як приклад рекурсивної моделі розглянемо збільшену динамічну модель міжгалузевого балансу. Ця модель розробляється у повному виразі. Вона включає три типи балансових рівнянь: баланси виробництва і розподілу продукції, баланси основних фондів і баланс трудових ресурсів модель із зворотною рекурсієюВідмінною рисою структури є виділення в них двох блоків умов:а) блоку розрахунків для останнього року досліджуваного періоду;б) блоку розгорнутих по інших даних цього ж періоду.Її можна записати, у вигляді.

Модель Неймана. Раніше було розглянуто трисекторну нелінійну динамічну модель економіки. Коли йдеться про розгляд багатьох галузей, доводиться відмовлятися від нелінійності через численні труднощі, що пов’язані з нею. Проте дослідження навіть лі­нійних динамічних багатогалузевих моделей також становить певні труднощі, хоча й приводить до змістовних економічних висновків.

Модель Неймана є узагальненою моделлю Леонтьєва, оскільки припускає виробництво одного продукту різними способами (у моделі Леонтьєва кожна галузь виробляє один продукт, і жодна інша галузь не може виробляти цей продукт).

У моделі подано n продуктів і m способів їх виробництва, кожний j-й спосіб задається вектором-стовпцем витрат аj і вектором-стовпцем випусків bj у розрахунку на одиницю інтенсивності процесу:

<!--[if !vml]--> <!--[endif]-->

З векторів витрат і випуску утворюються матриці витрат і випуску:

<!--[if !vml]--> <!--[endif]-->

Коефіцієнти витрат аij, і випуску bij невід’ємні. Природно припустити, що для реалізації будь-якого процесу необхідні витрати хоча б одного продукту, тобто для кожного j знайдеться хоча б одне і, таке що aij > 0, і кожен продукт може бути зроблений хоча б одним способом, тобто для кожного i існує деяке j, таке що bij > 0. З цієї умови випливає, що кожний стовпець матриці А та кожен рядок матриці В повинні мати принаймні один додатний елемент.

Інтенсивність процесів має бути також невід’ємною: <!--[if !vml]--> <!--[endif]--> j = 1, …, m.

Позначимо через xt вектор-стовпець інтенсивності виробництва:

<!--[if !vml]--> <!--[endif]-->

а через рt — вектор-рядок невід’ємних цін: pt = (p1(t), p2(t), …, pn(t)).

Вектор уt = Аxt — це вектор витрат за заданого вектора інтенсивності процесів xt, а вектор zt = Вxt — вектор випусків.

Модель Неймана описує замкнену економіку в тому сенсі, що для виробництва продукції в наступному виробничому циклі (протягом року t витрачається продукція, виготовлена в попередньому виробничому циклі, тобто протягом року (t – 1)):

<!--[if !vml]--> <!--[endif]-->

при цьому передбачається, що задано початковий вектор запасів Вх0 ≥ 0. Це модель Неймана в натуральній формі.

У рамках моделі Неймана можна ставити і розв’язувати оптимізаційні економічні задачі. Найбільше оптимізаційна задача формулюється так: знайти оптимум лінійної функції стану наприкінці розглянутого періоду:

<!--[if !vml]--> <!--[endif]-->

17. Інформація як одне з фундаментальних понять кібернетики. Поняття інформації. Підходи до вивчення інформації (семіотика, синтактика, семантика, прагматика) та їх характеристика. Статистичний підхід вимірювання інформації. Поняття ентропії.

Саме слово "інформація" латинського походження (informatio - роз'яснення, представлення) давно й часто використовується в науці та в буденному житті, проте на даний час ще немає єдиного чіткого визначення цього поняття. Відсутність єдиного визначення поняття інформації пояснюється його багатогранністю. Поняття інформації відносять до одного з основних понять кібернетики. Інформацію визначають як "певні відомості, сукупність якихось даних, знань і т.п.". Якщо ці відомості не мають жодної користі для дослідницької системи, то вони відіграють роль "шумів". Найважливішим науковим апаратом по вивченню інформації є теорія інформації, яка на даний час стала одним із фундаментальних напрямків кібернетики. Основи статистичної теорії інформації були сформульовані головним чином К. Шенноном. Ця теорія знайшла доволі широке застосування, але вона має певні недоліки.). Саме тому існує інший семантичний підхід до дослідженні інформації, який враховує корисність та змістовність. Поняття про кількість інформації та можливість її вимірювання є найважливішою проблемою теорії інформації.Існують три підходи до визначення кількості інформації. Синтактика вивчає синтаксис знакових структур, тобто способи поєднання знаків та правила утворення та перетворення цих поєднань незважаючи на їх значення. Таким чином, в певному розумінні, статистичний підхід до визначення кількості інформації у повідомленні можна віднести до синтаксичних. Семантика вивчає знакові системи, як спосіб вираження смислу, певного змісту, тобто правила інтерпретації знаків та їх поєднання. Прагматика розглядає співвідношення між знаковими системами та їх користувачами. Іншими словами до прагматики відносяться проблеми вивчення практичної корисності (цінності) знаків, слів, і, очевидно, цілих повідомлень. Найбільш розроблений в теорії інформації кількісний, статистичний підхід до інформації. Інформацію можна виміряти кількісно, підрахувати. Для цього, правда, необхідно абстрагуватись від змісту повідомлення. В цьому випадку інформацію розглядають як повідомлення про стан деякої системи, яка випадково може виявитись в якомусь одному із кількох можливих для неї станів. Така система має певний рівень невизначеності(ентропії). Повідомлення про невідомий до цього фактичний стан системи буде нести тим більше інформації, чим більший ступінь невизначеності(ентропії) системи, тобто чим більша кількість станів в яких вона може перебувати. Для вимірювання кількості інформації найбільш підходить логарифмічна функція, оскільки вона задовольняє всім вище приведеним вимогам.

Максимальне значення ентропій досягається в тих системах (при однаковій кількості станів) , в яких стани рівноймовірні. Величина її в цьому випадку буде рівна логарифму числа станів. Виділяють також поняття умовної ентропії. На підставі неї будується вся статистична теорія інформації, адже з її допомогою можна заходити кількість інформації, що міститься в одній системі (об'єкті) про другу систему (об'єкт).

18. статична модель МБ. Поняття галузі. Необхідні допущення при побудові моделі МБ. Балансові рівняння. Матриці прямих і повних витрат. Властивості. Таблиця МБ.

Основу інформаційного забезпечення моделі МГБ становить технологічна матриця, що містить коефіцієнти прямих матеріальних витрат на виробництво одиниці продукції. Ця матриця є також основою економіко-матема­тичної моделі МГБ.

Припустимо, що для виробництва одиниці продукції в j-й галузі потрібно витратити певний обсяг aij проміжної продукції i-ї галузі. При цьому значення aij не залежить від обсягу виробництва в цій галузі і є досить стабільним у часі. Величини aij називаються коефіцієнтами прямих матеріальних витрат і обчислюються так:

        <!--[if !vml]--> <!--[endif]-->         (7.4)

Означення. Коефіцієнтом прямих матеріальних витрат називається коефіцієнт, який показує скільки продукції i-ї галузі необхідно (якщо враховувати тільки прямі витрати) для виробниц­тва одиниці продукції j-ї галузі.

Узявши до уваги (7.4), систему рівнянь балансу (7.2) можна переписати у вигляді:

        <!--[if !vml]--> <!--[endif]-->.            (7.5)

Нехай А = (aij) — матриця коефіцієнтів прямих матеріальних витрат, X — вектор-стовпець валової продукції і Y — вектор-стовпець кінцевої продукції. Тоді система рівнянь (7.5) у матричній формі набирає вигляду:

        <!--[if !vml]--> <!--[endif]-->.        (7.6)

Система рівнянь (7.5), або, у матричній формі, (7.6), називається економіко-математичною моделлю міжгалузевого балансу (моделлю Леонтьева, моделлю «витрати— випуск»). За допомогою цієї моделі, позначивши, як завжди, символом Е одиничну матрицю, виконувати три варіанти розрахунків:

задавши в моделі обсяги Хi валової продукції кожної галузі, визначають обсяги Yj кінцевої її продукції: Y = (Е – А)Х;

задавши обсяги Yi кінцевої продукції всіх галузей, знаходять обсяг Xi обсягу валової продукції кожної галузі: Х = (Е – А)–1Y;

задавши обсяги валової продукції для низки галузей, а для решти галузей — обсяги кінцевої продукції, відшукують обсяги кінцевої продукції перших галузей і обсяги валової продукції других (у цьому варіанті зручніше користатися не матричною формою моделі (7.6), а системою лінійних рівнянь (7.5)).

У наведених співвідношеннях (Е – А)–1 — матриця, обернена до матриці (Е – А). Якщо визначник матриці (Е – А) не дорівнює нулю, тобто ця матриця невироджена, то обернена до неї матриця існує. Позначивши цю обернену матрицю через Y = (Е – А)–1, можна систему рівнянь у матричній формі (7.6) подати у вигляді Х = ВY.

Нехай bij — елементи матриці В. Тоді з матричного рівняння для будь-якої i-ї галузі можна дістати таке співвідношення:

        <!--[if !vml]--> <!--[endif]-->.        (7.7)

Із (7.7) випливає, що обсяг валової продукції виступає як зважена сума обсягів кінцевої продукції, причому вагами є коефіцієнти bij, що показують, скільки всього потрібно виготовити продукції i-ї галузі, щоб у сферу кінцевого використання надійшла одиниця продукції j-ї галузі. На відміну від коефіцієнтів aij прямих витрат коефіцієнти bij називаються коефіцієнтами повних матеріальних витрат і охоплюють як прямі, так і непрямі витрати всіх порядків. Якщо прямі витрати відбивають кількість засобів виробництва, витрачених безпосередньо під час виготовлення певного продукту, то непрямі стосуються попередніх стадій виробництва і входять у виробництво продукту опосередковано через інші (проміжні) засоби виробництва.

Означення. Коефіцієнтом повних матеріальних витрат bij називається коефіцієнт, який показує скільки продукції i-ї галузі потрібно виробити, щоб з урахуванням прямих і непрямих її витрат одержати одиницю кінцевої продукції j-ї галузі.

Коефіцієнти повних матеріальних витрат застосовують, щоб з’ясувати, як позначиться на валовому випуску деякої галузі передбачувана зміна обсягів кінцевої продукції всіх галузей:

<!--[if !vml]--> <!--[endif]-->,

де ΔXi, ΔYj — зміна (приріст) обсягу відповідно валової і кінцевої продукції.

19. Економічна інформація. Поняття економічної інформації. Властивості економічної інформації. Поділ економічної інформації на групи: облікова, планова, регулююча. Спосіб оцінки обсягу економічної інформації.

Поняття економічної інформації включає всі відомості про процеси виробництва, розподілу, обміну та споживання матеріальних благ. Таким чином, сукупність даних, що відображає господарські процеси та причинні взаємозв'язки між органами керування складає економічну інформацію. Вона повинна задовольняти наступні вимоги: цінність (корисність) для процесів керування економічною системою; достовірність, адже невірна, помилкова інформація (дезинформація), а також зайва, надто деталізована інформація може негативно впливати на процеси керування, викликаючи ускладнення структури та збільшення трудових затрат керівного персоналу; своєчасність поступлення до споживача; лаконічність- забезпечується прискорення процесів передачі та обробки, а також підвищується її цінність;зручність кодування, що є важливим фактором надійності передачі, а, відповідно, її достовірності, а також прискорює передачу, обробку й сприйняття; мінімізація затрат на збір, формування, передачу та обробку.

За функціональними ознаками економічну інформацію можна розділити на три основні групи: облікова інформація, яка відображає апостеріорні явища, стани, тобто результати господарських процесів у вигляді даних бухгалтерського обліку, а також звітно-статистичних або оперативно-технічних даних; цільова (планова) інформація, що відображає апріорні явища, стани, тобто містить сукупність показників, що описують бажаний (планований) стан економічної системи; регулююча інформація, яка, хоч і базується на плановій, відрізняється тим, що на її підставі здійснюється біжуче, з врахуванням конкретних потокових ситуацій, коректування цільової інформації з метою підвищення економічної ефективності функціонування системи.Економічна інформація також класифікується: по фазах відтворення: інформація про виробництво, розподіл, обмін, споживання; по факторах відтворення: інформація про природні ресурси, засоби виробництва, населення і трудові ресурси, продукцію та послуги; по галузях: промислова, сільськогосподарська, торгівельна і т. д. Класичний підхід до визначення кількості інформації обґрунтував Клод Шенон. За Шеноном, кількість інформації, що еквівалентна на одному символу, визначається за формулою : I=- , де І – питома інформативність джерела (кількість інформації на один символ); p_i – ймовірність сигналу і-того типу; k – кількість типів сигналів. Знак " – " у цій формулі не означає, що кількість інформації є від`ємною величиною. Справа в тому, що значення додатнє значення І.

При визначенні обсягів економічної інформації в умовах її автоматизованої обробки до неї ставлять ряд вимог: методична єдність, достовірність, своєчасність передачі споживачам, лаконічність при максимальній насиченості необхідними показниками, простота кодування, доступність сприйняття і мінімізація витрат на формування та обробку.

20. звітний та плановий міжгалузеві баланси. Модель міжгалузевого балансу. Ступінь вільності моделі. Поняття звітного балансу. Види планових міжгалузевих балансових моделей.

Припускається гіпотеза, згідно з якою для виробництва одиниці продукції в j-й галузі необхідна певна кількість витрат проміжної продукції і-ї галузі, що становить a_ij, і ця величина не залежить від обсягів виробництва в j-й галузі та є досить стабіль­ною величиною в часі. Величини a_ij називають коефіцієнтами прямих матеріальних витрат та обчислюють таким чином:

(11.4)

Коефіцієнти прямих матеріальних витрат показують, яку кількість продукції і-ї галузі необхідно витратити, якщо враховувати лише прямі витрати, для виробництва одиниці продукції j-ї галузі. З урахуванням формули (11.4) систему рівнянь балансу (11.2) можна записати у вигляді

Х_і Х_і (11.5)

Якщо ввести до розгляду матрицю коефіцієнтів прямих матеріальних витрат А = (а_ij), вектор-стовпчик валової продукції X та вектор-стовпчик кінцевої продукції Y:

то система рівнянь (11.5) у матричній формі матиме вигляд X = AX + Y . (11.6)

Систему рівнянь (11.5), чи у матричній формі (11.6), називають економіко-математичною моделлю міжгалузевого балансу (моделлю Леонтьєва, моделлю «витрати — випуск»). За допомогою цієї моделі можна виконати три варіанти обчислень:

*задаючи в моделі обсяги валової продукції кожної галузі (Х_i), можна визначити обсяги кінцевої продукції кожної галузі (Y_i):Y = (E – A)X,(11.7)де Е — одинична матриця n-го порядку;

*задаючи обсяги кінцевої продукції всіх галузей (Y_i), можна визначити обсяги валової продукції кожної галузі (Х_i):X = (E – A)^–1Y; (11.8)

*для низки галузей задаючи обсяги валової продукції, а для решти — обсяги кінцевої продукції, можна відшукати величини кінцевої та валової продукції всіх галузей.

21. Керування. Системи керування. Поняття керування та вимоги до нього. Типи керування (стабілізація, програмне, слідкуючі системи, адаптивне, оптимальне). Системи керування.

Керування - це цілеспрямована дія на об'єкт, вибрана на основі заданої інформації із множини можливих дій, яка покращує його функціонування або розвиток. Ціль (мета) - одна з найважливіших характеристик керування. Здійснюючи процес керування, необхідно прямувати до певної, наперед заданої мети або реалізовувати деяку програму дій. Сам же процес керування може реалізовуватись тільки на основі використання й переробки інформації про поведінку самого об'єкта та про вплив на нього навколишнього середовища. Нецілеспрямоване перетворення не слід вважати керуванням, так як воно не має жодного змісту.Типи керування:

Стабілізація параметра. Задача стабілізації полягає у підтриманні певних вихідних її параметрів поблизу заданих постійних значень, не зважаючи на дію випадкових збурень зовнішнього середовища. Програмне керування. Задача програмного керування полягає в тому, щоб стан керованого об'єкта утримувати поблизу наперед заданої послідовності станів залежно від часу. Це є задача виконання певної програми дій. Слідкуюча система. Часто зустрічаються ситуації, коли закон зміни в часі станів системи, який виступає у програмному керуванні, є заздалегідь невідомий, а визначається по ходу самого процесу керування. Це задача слідування. Адаптивне керування. Керування в умовах невизначеності апріорної інформації про керований процес, яке змінюється в міру її нагромадження і використовується для покращення роботи системи, називається адаптивним. Важливою стороною адаптивного керування є навчання та самонавчання. Оптимальне керування. Під оптимальним керуванням розуміють таку сукупність керівних дій, сумісних із накладеними на систему обмеженнями, яка забезпечує найвигідніше значення вибраного критерію ефективності. Усі перелічені типи керування зустрічаються у реальних системах, однак для складних систем характерна велика кількість різних параметрів, від яких залежить їх стан і поведінка. Тому комплексне керування такими системами може містити задачі всіх типів.