30.Радикальный признак коши

Теорема 8: Пусть дан ряд с положительными членами.

a) Если

(11)

то он сходится; если же

(12)

то он расходится.

b) Если , (13)

то при q<1 ряд сходится, а при q>1 расходится, и при этом .

c) Если верхний предел , (14)

то ряд при

q<1 сходится, а при q>1 расходится и при этом общий член ряда не ограничен.

№31. Интегральный признак сходимости.

Теорема: Пусть дан ряд

,

члены которого являются значениями некоторой функции f(x), положительной,

непрерывной и убывающей на полуинтервале [1, +¥). Тогда, если

сходится, то сходится и ряд

также расходится.

№32. знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница

(Признак Лейбница). Дан знакочередующийся ряд

а1 − а 2 + а 3 − ... + (− 1)n −1 ⋅ a n + ... , где ∀n a n > 0 .

Если {an} монотонно убывает, т.е. а1 > а 2 > а 3 > ... > a n > ... и lim a n = 0 , то

n →∞

знакочередующийся ряд сходится, его сумма положительна и не превосходит

первого члена ряда.

Рассмотрим остаток знакочередующего ряда ∑ (− 1)n−1a n , который

n =1

является также знакочередующимся рядом, т.е.

R n = ± a n +1 − a n + 2 − ... + (− 1) p −1 ⋅ a n + p + ... . )

Так как абсолютная величина суммы знакочередующегося ряда не

превосходит его первого члена, то Rn ≤ a n +1 .

Отсюда следует, что при приближенном подсчете суммы сходящегося

знакочередующегося ряда, заменяя сумму ряда суммой первых n его членов, мы

допускаем ошибку, модуль которой не превышает абсолютной величины

первого из отброшенных членов.

33. Знакопеременные

Абсолютно и условно сходящиеся ряды.

Знакопеременные ряды

∞

Определение: Ряд ∑ an , среди членов которого есть как

n =1

положительные, так и отрицательные, называется знакопеременным.

Среди знакопеременных

n =1 n + 1

рядов особо выделяют знакочередующиеся ряды.

Определение: Ряд

∞

а1 − а 2 + а 3 − а 4 + ... + (− 1)n −1 ⋅ a n + ... = ∑ (− 1)n −1 a n ,

n =1

где все an – числа одного знака, называется знакочередующимся.

Сходимость знакочередующегося ряда исследуется с помощью признака Лейбница.

Абсолютная и условная сходимость знакопеременных рядов

Теорема (достаточный признак сходимости знакопеременного ряда).

∞ ∞

Если ∑ an – сходится, то сходится и знакопеременный ря ∑ an .

n =1 n =1

∞

Определение: Знакопеременный ряд ∑ an называется абсолютно

n =1

∞

сходящимся, если сходится ряд ∑ an , составленный из абсолютных величин

n =1

его членов.

Определение: Знакопеременный ряд называется условно сходящимся,

если сам он сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин его членов,

расходится.

№34. Функциональные ряды

Определение: Ряд вида

∞

f 1 ( x ) + f 2 ( x ) + ... + f n ( x ) + ... = ∑ f n ( x ) , (28)

n =1

членами которого являются функции, зависящие от х, определенные на

некотором множестве Д, называется функциональным.

Если в функциональный ряд (28) подставить х из Д, то ряд превратится в

числовой. Для различных значений х из функционального ряда (28) будут

получаться различные числовые ряды, каждый из которых может быть как

сходящимся, так и расходящимся.

Определение: Точка х = х0 называется точкой сходимости

∞ ∞

функционального ряда ∑ f n ( x ), если числовой ряд ∑ f n (x 0 ) сходится.

n =1 n =1

Определение: Точка х = х1 называется точкой расходимости

∞ ∞

функционального ряда ∑ f n (x ), если ряд ∑ f n (x1 ) расходится.

n =1 n =1

Определение: Совокупность всех точек сходимости функционального

ряда называется его областью сходимости.

Мажорируемые ряды

Определение.   Функциональный  ряд

                                         (1)

называется мажорируемым в некоторой области изменения x, если существует такой сходящийся числовой ряд

                                        (2)

с положительными членами, что для всех значений x из данной области выполняются соотношения

                               (3)

Иначе говоря, ряд называется мажорируемым, если каждый его член по абсолютной величине   не больше   соответствующего  члена неко­торого сходящегося  числового ряда  с положительными членами. Например, ряд

есть ряд, мажорируемый на всей оси Ох. Действительно, для всех значений x выполняется соотношение

а ряд

как известно, сходится.

Непосредственно из определения следует, что ряд, мажорируе­мый в некоторой области, абсолютно сходится во всех точках этой области. Кроме того, мажорируемый ряд обладает еще следующим важным  свойством.

 

№35 интегрирование функционального ряда

Теоремы об интегрировании

Рассматриваются действительнозначные функции на отрезке действительной оси.

Теорема о переходе к пределу под знаком интеграла.

функция непрерывна на отрезке

на

Тогда

Теорема о почленном интегрировании.

функция непрерывна на отрезке

на

Тогда