14.Ду с разделяющимися переменными

Наиболее простым ДУ первого порядка является, уравнение вида

P(x)•dz+Q(y)•dy=0.

В нем одно слагаемое зависит только от х, а другое - от у. Иногда такие ДУ называют уравнениями с разделенными переменными. Проинтегрировав почленно это уравнение, получаем:

- его общий интеграл.

 Более общий случай описывают уравнения с разделяющимися переменными, которые имеют вид

Особенность уравнения (2.6) в том, что коэффициенты при dx и dY представляют собой произведения двух функций (чисел), одна из которых зависит только от х, другая - только от у.

15.Однородные уравнения

Дифференциальное уравнение называется однородным, если  — однородная функция нулевой степени. Функция называется однородной степени , если для любого выполняется равенство .

Замена приводит при однородное уравнение к уравнению с разделяющимися переменными:

16.Линейные ду 1го порядка.Метод подстановки Бернули

Обыкновенное дифференциальное уравнение вида

называется линейным дифференциальными уравнениями.

Метод Бернулли

1.     Применим подстановку

  , причем  - новая неизвестная функция, а  - произвольная функция

2.     Продифференцируем обе части

3.     Подставим полученное выражение в уравнение

  

4.     Т.к. функция  выбрана произвольно, то выберем её такой, чтобы выполнялось условие

      

5.     Найдем частное решение

, следовательно

Проинтегрируем уравнение

        

следовательно  - какое – либо частное решение

6.     Подставим  в уравнение

Разделим переменные и проинтегрируем

Следовательно        

7.     Подставим  и  в равенство

получили общее решение дифференциального уравнения I –го порядка.

17 Метод вариации произвольного постоянного

a_n(t)z⁽ⁿ⁾(t) + a_{n − 1}(t)z^{(n − 1)}(t) + ... + a₁(t)z'(t) + a₀(t)z(t) = f(t)

состоит в замене произвольных постоянных c_k в общем решении

z(t) = c₁z₁(t) + c₂z₂(t) + ... + c_nz_n(t)

соответствующего однородного уравнения

a_n(t)z⁽ⁿ⁾(t) + a_{n − 1}(t)z^{(n − 1)}(t) + ... + a₁(t)z'(t) + a₀(t)z(t) = 0

на вспомогательные функции c_k(t), производные которых удовлетворяют линейной алгебраической системе

Определителем системы (1) служит вронскиан функций z₁,z₂,...,z_n, что обеспечивает её однозначную разрешимость относительно .

Если  — первообразные для , взятые при фиксированных значениях постоянных интегрирования, то функция

является решением исходного линейного неоднородного дифференциального уравнения.

18.Уравнение Бернули

g(x)y' = f₁(x)y + f_n(x)yⁿ. Уравнение Бернулли. 1. Для n ≠ 1, замена w(x) = y^1-n приводит к линейному уравнению: 2. Решение: где С - некоторая константа.