4. Замена переменной в тройном интеграле

замена переменных в тройном интеграле состоит в переходе от переменных x, y, z к новым переменным u, v, w по формулам

(1)

При этом каждая точка (x,y,z) области V соответствует по формулам (1) некоторой точке (u,v,w) области , а каждая точка (u,v,w) области переходит в некоторую точку (x,y,z) области V. якобиан преобразования

Тогда справедливо равенство (формула замены переменных в тройном интеграле) (2)

Суть замены переменных в тройном интеграле (формула 2) состоит в следующем: интеграл, стоящий в правой части равенства (2) проще как по виду функции f(u,v,w), так и по области , чем интеграл и область V в левой части (2).

Формулу (1) можно рассматривать как формулы перехода к новым, криволинейным координатам (u,v,w) в области V. Поверхности u = const, v = const и w = const представляют собой координатные поверхности (вообще говоря, криволинейные) в пространстве (x,y,z).

5. Цилиндрические координаты. Пусть M(x,y,z) – произвольная точка в пространстве . – проекция точки M на плоскость xOy

Точка M однозначно задается тройкой чисел (r, φ, z), где (r, φ) – полярные координаты точки на плоскости xOy, z – аппликата точки M. Тройка чисел (r, φ, z) называется цилиндрическими координатами точки M. Переход от прямоугольных координат (x,y,z) к цилиндрическим (r, φ, z) задается формулами (3)

Якобиан преобразования

Тогда тройной интеграл в цилиндрической системе координат имеет вид

(4)

Таким образом, вычисление тройного интеграла сводится к интегрированию на r, по φ и по z аналогично тому, как это делается в декартовых координатах.

6. Сферические координаты.

Пусть M(x,y,z) – произвольная точка в пространстве . – проекция точки M на плоскость xOy .Точка M однозначно задается тройкой чисел , где r – расстояние точки M от точки 0 (начала координат), φ – угол, образованный проекцией радиуса-вектора на плоскость Oxy и осью Ox, θ – угол между лучами OM и Oz. Тройка чисел называется сферическими координатами точки M (или полярными координатами в пространстве).Переход от прямоугольных координат (x,y,z) к сферическим задается формулами

(5)

Якобиан преобразования

. Тогда тройной интеграл в сферической системе координат имеет вид

7. Криволинейный интеграл 1го рода и его вычисление

Обобщением определенного интеграла – интеграла по отрезку, на случай, когда область интегрирования есть некоторая кривая в или являются криволинейные интегралы.

Определение (КРИ-I). Пусть в задана непрерывная кривая АВ, длина которой l, а непрерывная функция определена в точках дуги АВ. Разобьем кривую АВ точками на n произвольных дуг длиной . Выбирая на каждой дуге произвольную точку вычислим значения в них и составим сумму (1)

которая представляет собой также интегральную сумму для функции по кривой АВ. Если существует конечный предел интегральных сумм (1), независимый от способа разбиения кривой АВ от выбора точек при (или ), то он называется криволинейным интегралом от функции по дуге АВ (или КРИ-I) и обозначается .

Таким образом, по определению КРИ-I

Если кривая АВ – замкнутая линия, то в этом случае КРИ-I обозначают символом . Отметим, что в данном определении КРИ-I не играет никакой роли направление, которое может быть придано движению по кривой АВ или ВА, т.е.

Основные свойства КРИ-I для .

1. , т.е. КРИ-I не зависит от пути интегрирования.

2.

3.

4. (теорема о среднем). Если непрерывна на кривой АВ, то на АВ существует точка такая, что