19.Ду в полных дифференциалах

Дифференциальное уравнение вида

называется дифференциальным уравнением в полных диффернциалах, если его левая часть является полным дифференциалом некоторой гладкой функции , т.е. если , . Необходимое и достаточное условие для существования такой функции имеет вид:

Чтобы решить дифференциальное уравнение в полных дифференциалах необходимо найти функцию . Тогда общее решение дифференциального уравнения можно записать в виде для произвольной постоянной .

20.Ду высших порядков. Задача Коши

Обыкновенным дифференциальным уравнением n-го порядка называется уравнение вида F(x, y, y', y'', ..., y⁽ⁿ⁾) = 0,

Функция y(x) называется решением дифференциального уравнения n-го порядка, если она n раз непрерывно дифференцируема на промежутке (a, b) и удовлетворяет уравнению для всех xО(a, b).

Дифференциальное уравнение n-го порядка имеет, вообще говоря, бесконечное множество решений. Чтобы выделить единственное решение уравнения достаточно определить начальные условия: y(x₀) = y₀ , y'(x₀) = y_0,1 , y''(x₀) = y_0,2 , ..., y⁽ⁿ^-1)(x₀) = y_0,_n-₁.

При определенных ограничениях на правую часть уравнения эта задача, она называется задачей Коши, имеет единственное решение.

Справедлива следующая теорема существования и единственности решения задачи Коши. Если правая часть уравнения y⁽ⁿ⁾) = f(x, y, y', y'', ..., y⁽ⁿ^-1)) и ее частные производные по переменным y, y', y'', ..., y⁽ⁿ^-1) непрерывны в области GМ Rⁿ⁺¹, то для любой точки (x₀, y₀, y_0,1, y_0,2, ..., y_0,_n-₁) из G на некотором интервале (x₀-h, x₀+h) существует единственное решение y(x) уравнения, удовлетворяющее начальным условиям y(x₀) = y₀ , y'(x₀) = y_0,1 , y''(x₀) = y_0,2 , ..., y⁽ⁿ^-1)(x₀) = y_0,_n-₁.

Численное решение задачи Коши y⁽ⁿ⁾) = f(x, y, y', y'', ..., y⁽ⁿ^-1)), y(x₀) = y₀ , y'(x₀) = y_0,1 , y''(x₀) = y_0,2 , ..., y⁽ⁿ^-1)(x₀) = y_0,_n-₁ состоит в построении таблицы приближенных значений y_i решения y=y(x) в точках x₁, x₂, ..., x_i, ... .

Задача о численном решении дифференциального уравнения порядка выше первого чаще всего сводится к численному решению задачи Коши для нормальной системы дифференциальных уравнений. Обозначив y(x)=y₁(x), y'(x)=y₂(x), y''(x)=y₃(x), ..., y⁽ⁿ^-1)(x)=y_n (x), получим задачу Коши для системы n дифференциальных уравнений 1-го порядка y₁'=y₂ , y₂'=y₃ , ..., y_n' =f(x, y₁, y₂ , ..., y_n ), y₁(x₀ )=y₀, y₂(x₀)=y_1,0 , ..., y_n-₁(x₀)=y_n-₁_,₀, которая в векторной форме имеет вид `Y '= `F(x,`Y), `Y(x₀) =`Y₀, `Y (x)=(y₁(x), y₂(x), ..., y_n(x)), `Y '(x)=(y₁'(x), y₂'(x), ..., y_n'(x)), `F(x,`Y)= (y₂, y₃, ..., y_n, f(x, y₁, y₂ , ..., y_n )).